表が出る確率が $p$ ($0 < p < 1$) であるコインを投げ、同じ面が続けて2回出たら終了する。1回目に裏が出たとき、最後に表が2回出て終了する確率を求める。

1. 問題の内容

表が出る確率が $p$ ($0 < p < 1$) であるコインを投げ、同じ面が続けて2回出たら終了する。1回目に裏が出たとき、最後に表が2回出て終了する確率を求める。

2. 解き方の手順

1回目に裏が出ているので、確率は $1-p$ である。

そこから、最後に表が2回出て終わる確率を考える。

$a$ を求める確率とする。

2回目に表が出た場合と、2回目に裏が出た場合を考える。

(i) 2回目に表が出た場合：確率は $p$ である。

このとき、状態は「裏、表」となっている。

ここから、表が2回続いて終わるには、次に表が出るか、または裏が出て再び「裏、表」から始まるかのいずれかである。

したがって、この場合の確率は $p + (1-p)a$ となる。

全体としては、 $p(p + (1-p)a)$ となる。

(ii) 2回目に裏が出た場合：確率は $1-p$ である。

このとき、状態は「裏、裏」となり、終了する。しかし、これは問題文に反する（最後に表が2回出て終了する）ので、確率は0である。

したがって、以下の式が成り立つ。

$a = p(p + (1-p)a)$

これを解くと、

$a = p^2 + p(1-p)a$

$a - p(1-p)a = p^2$

$a(1 - p + p^2) = p^2$

$a = \frac{p^2}{1 - p + p^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{p^2}{1 - p + p^2}$