1個のさいころを1800回投げたとき、5以上の目が出た回数を確率変数 $X$ とする。 (1) 確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ と標準偏差 $\sigma(X)$ を求める。 (2) $X \le 560$ となる確率を求める。ただし、確率変数 $Z$ が標準正規分布に従うとき、$P(0 \le Z \le 2) = 0.4772$ とする。

1. 問題の内容

1個のさいころを1800回投げたとき、5以上の目が出た回数を確率変数 $X$ とする。

(1) 確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ と標準偏差 $\sigma(X)$ を求める。

(2) $X \le 560$ となる確率を求める。ただし、確率変数 $Z$ が標準正規分布に従うとき、$P(0 \le Z \le 2) = 0.4772$ とする。

2. 解き方の手順

(1)

1回の試行で5以上の目が出る確率は $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ である。

$X$ は二項分布 $B(n, p)$ に従う。ここで、$n = 1800$、$p = \frac{1}{3}$ である。

期待値は $E(X) = np$ であり、分散は $V(X) = np(1-p)$ である。標準偏差は $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ である。

$E(X) = 1800 \times \frac{1}{3} = 600$

$V(X) = 1800 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = 400$

$\sigma(X) = \sqrt{400} = 20$

(2)

$X \le 560$ となる確率を求める。$X$ は二項分布に従うが、$n$ が大きいので正規分布で近似する。

$X$ は近似的に正規分布 $N(E(X), V(X))$ 、すなわち $N(600, 400)$ に従う。

$Z = \frac{X - E(X)}{\sigma(X)}$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う。

$P(X \le 560) = P\left(Z \le \frac{560 - 600}{20}\right) = P(Z \le -2)$

$P(Z \le -2) = P(Z \ge 2)$ （標準正規分布の対称性）

$P(Z \ge 2) = 0.5 - P(0 \le Z \le 2) = 0.5 - 0.4772 = 0.0228$

3. 最終的な答え

(1) $E(X) = 600$, $\sigma(X) = 20$

(2) $P(X \le 560) = 0.0228$