(1) 赤玉3個と白玉2個が入った袋から1個玉を取り出し、色を確認して戻す試行を3回繰り返す。このとき、赤玉がちょうど2回出る確率を求める。 (2) 赤玉3個、青玉2個、白玉1個が入った袋から1個玉を取り出し、色を確認して戻す試行を4回繰り返す。このとき、赤玉が2回、青玉が1回、白玉が1回出る確率を求める。

1. 問題の内容

(1) 赤玉3個と白玉2個が入った袋から1個玉を取り出し、色を確認して戻す試行を3回繰り返す。このとき、赤玉がちょうど2回出る確率を求める。

(2) 赤玉3個、青玉2個、白玉1個が入った袋から1個玉を取り出し、色を確認して戻す試行を4回繰り返す。このとき、赤玉が2回、青玉が1回、白玉が1回出る確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、1回の試行で赤玉が出る確率を求める。

袋の中には合計5個の玉があり、そのうち赤玉は3個なので、赤玉が出る確率は $\frac{3}{5}$ である。

したがって、白玉が出る確率は $\frac{2}{5}$ である。

3回の試行で赤玉が2回出る確率は、二項分布に従う。

二項分布の公式は、$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ である。

ここで、$n=3$ (試行回数)、$k=2$ (赤玉が出る回数)、$p=\frac{3}{5}$ (1回の試行で赤玉が出る確率)である。

したがって、求める確率は

$P(X=2) = \binom{3}{2} (\frac{3}{5})^2 (\frac{2}{5})^{3-2} = \binom{3}{2} (\frac{3}{5})^2 (\frac{2}{5})^1$

$\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)} = 3$

$P(X=2) = 3 \times (\frac{9}{25}) \times (\frac{2}{5}) = 3 \times \frac{18}{125} = \frac{54}{125}$

(2)

まず、1回の試行で各色の玉が出る確率を求める。

袋の中には合計6個の玉があり、赤玉は3個、青玉は2個、白玉は1個なので、それぞれの玉が出る確率は、赤玉: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$、青玉: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$、白玉: $\frac{1}{6}$である。

4回の試行で赤玉が2回、青玉が1回、白玉が1回出る確率を求める。

これは多項分布の問題であり、その確率は以下のように計算される。

$\frac{4!}{2!1!1!} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{3})^1 (\frac{1}{6})^1 = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)(1)} \times (\frac{1}{4}) \times (\frac{1}{3}) \times (\frac{1}{6})$

$= 12 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = 12 \times \frac{1}{72} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{54}{125}$

(2) $\frac{1}{6}$