表が出る確率が $p$ ($0<p<1$) であるコインを投げ、同じ面が続けて2回出たら終了する。1回目に裏が出たとき、最後に表が2回出て終了する確率を求めよ。

1. 問題の内容

表が出る確率が $p$ ($0<p<1$) であるコインを投げ、同じ面が続けて2回出たら終了する。1回目に裏が出たとき、最後に表が2回出て終了する確率を求めよ。

2. 解き方の手順

1回目に裏が出ているので、試行は 裏 から始まる。

最後に表が2回続いて終わるためには、試行は

(1) 裏, 表, 表

(2) 裏, (裏, 表)*, 表, 表

という形になる必要がある。ここで (裏, 表)* は、裏、表が0回以上繰り返されることを意味する。

$a_n$ を、最初の裏が出てから、$n$ 回の試行で最後に表表で終わる確率とする。 すると、求める確率は $a_2 + a_3 + ... = \sum_{n=2}^{\infty} a_n$である。

まず、$a_2$ は、裏, 表, 表 となる確率であるから、

$a_2 = (1-p) p^2$

次に、$a_3$ は、裏, 裏, 表, 表 または 裏, 表, 裏, 表, 表 となる確率であり、

裏, 裏, 表, 表 の確率は $(1-p)^2 p^2$

裏, 表, 裏, 表, 表 は、 $(1-p) p (1-p) p^2$

$a_n$ を求める。

最初の裏の後に、 $n-2$ 回の試行があり、その後表が2回続いて終了する。

この $n-2$ 回の試行では、表表となってはいけない。

$n-2$ 回の試行を「裏, 表」の繰り返しと「裏」で構成する。

このうち、「裏, 表」の繰り返しが $k$ 回あるとすると、「裏」は $n-2-2k$ 回となる。

例えば、$n=4$ のとき、裏、裏、表、裏、表、表というパターンがありうる。

$n$回の試行で最後に表表で終わる確率は、

$\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n-2}{2} \rfloor} (1-p) (p(1-p))^k (1-p)^{n-2-2k} p^2$ となる。

そこで、求める確率は

$S = \sum_{n=2}^{\infty} a_n = \sum_{n=2}^{\infty} \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n-2}{2} \rfloor} (1-p) (p(1-p))^k (1-p)^{n-2-2k} p^2$

$= (1-p) p^2 \sum_{n=2}^{\infty} \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n-2}{2} \rfloor} (p(1-p))^k (1-p)^{n-2-2k}$

$k=0$のとき、$n=2$から、$(1-p)^0 = 1$

$k=1$のとき、$n=4$から、$(p(1-p))^1 (1-p)^0 = p(1-p)$

$k=2$のとき、$n=6$から、$(p(1-p))^2 (1-p)^0 = (p(1-p))^2$

...

したがって、$\sum_{k=0}^{\infty} (p(1-p))^k = \frac{1}{1-p(1-p)}$

$S = (1-p)p^2 + (1-p)^2 p^2 + (1-p) p (1-p) p^2 + ...$

$= (1-p)p^2 \sum_{k=0}^\infty (1-p)^{2k}$

$S = (1-p)p^2 \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1-p}{1-p+p^2})^n$

$S = \frac{(1-p) p^2}{1 - (1-p)}$

$S= p^2 + p^3 + ...$

答えは、$a_2 + \sum_{n=3}^{\infty} (1-p)p [ (1-p)+p]^n p$

$S= \frac{p^2}{2-p}

3. 最終的な答え

$\frac{p^2}{2-p}$