白玉5個、赤玉3個が入っている袋から、玉を1個ずつ4回取り出すとき、同じ色の玉が3回以上続いて出る確率を求めよ。ただし、取り出した玉はもとに戻さないものとする。

1. 問題の内容

白玉5個、赤玉3個が入っている袋から、玉を1個ずつ4回取り出すとき、同じ色の玉が3回以上続いて出る確率を求めよ。ただし、取り出した玉はもとに戻さないものとする。

2. 解き方の手順

同じ色の玉が3回以上続くのは、以下のいずれかのパターンである。

* 白白白白

* 白白白赤

* 赤赤赤赤

* 赤赤赤白

それぞれの確率を計算し、足し合わせる。

* 白白白白の確率: $\frac{5}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{120}{1680}$

* 白白白赤の確率: $\frac{5}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{180}{1680}$

* 赤赤赤赤の確率: これは起こりえない。なぜなら赤玉は3個しかないから。したがって確率は0である。

* 赤赤赤白の確率: $\frac{3}{8} \times \frac{2}{7} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{5} = \frac{30}{1680}$

* 白赤赤赤の確率：これは起こりえない。なぜなら赤玉は3個しかないから。したがって確率は0である。

* 赤白白白の確率：$\frac{3}{8} \times \frac{5}{7} \times \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{180}{1680}$

これらの確率を足し合わせる:

$\frac{120}{1680} + \frac{180}{1680} + \frac{30}{1680} + \frac{180}{1680} = \frac{510}{1680}$

この分数を約分する。$\frac{510}{1680} = \frac{51}{168} = \frac{17}{56}$

3. 最終的な答え

$\frac{17}{56}$

あるいは、画像に書かれている計算に基づくと：

白玉が3回以上続く確率：

* 白白白Xの確率：$\frac{5}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{5}{5} = \frac{300}{1680}$ （Xは白か赤）

* 白白X白の確率：$\frac{5}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{180}{1680}$　（Xは白か赤）

* 白X白白の確率：$\frac{3}{8} \times \frac{2}{7} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{5} = \frac{30}{1680}$

* X白白白の確率：$\frac{3}{8} \times \frac{5}{7} \times \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{180}{1680}$

$\frac{300 + 180 + 30 + 180}{1680} = \frac{690}{1680} = \frac{69}{168} = \frac{23}{56}$

最終的な答え: $\frac{23}{56}$