赤い袋に1と2のカードが、白い袋に2と4のカードが入っている。それぞれの袋から1枚ずつカードを取り出すとき、赤い袋から取り出した数を確率変数A、白い袋から取り出した数を確率変数Bとする。 (1) A=2となる確率、Aの平均E(A)、分散V(A)を求める。 (2) 十の位がA、一の位がBである2桁の数Mの平均E(M)、分散V(M)を求める。

1. 問題の内容

赤い袋に1と2のカードが、白い袋に2と4のカードが入っている。それぞれの袋から1枚ずつカードを取り出すとき、赤い袋から取り出した数を確率変数A、白い袋から取り出した数を確率変数Bとする。

(1) A=2となる確率、Aの平均E(A)、分散V(A)を求める。

(2) 十の位がA、一の位がBである2桁の数Mの平均E(M)、分散V(M)を求める。

2. 解き方の手順

(1)

- A=2となる確率は、赤い袋から2を取り出す確率なので、$\frac{1}{2}$。

- Aの平均E(A)は、$E(A) = 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$。

- Aの分散V(A)は、$V(A) = E(A^2) - (E(A))^2$で求める。$E(A^2) = 1^2 \times \frac{1}{2} + 2^2 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$。

よって、$V(A) = \frac{5}{2} - (\frac{3}{2})^2 = \frac{5}{2} - \frac{9}{4} = \frac{10}{4} - \frac{9}{4} = \frac{1}{4}$。

(2)

- Mは十の位がA、一の位がBの2桁の数なので、$M = 10A + B$と表せる。

- E(M)は、$E(M) = E(10A + B) = 10E(A) + E(B)$で求める。

$E(A) = \frac{3}{2}$。(1)で求めた。

$E(B) = 2 \times \frac{1}{2} + 4 \times \frac{1}{2} = 3$。

$E(M) = 10 \times \frac{3}{2} + 3 = 15 + 3 = 18$。

- V(M)は、$V(M) = V(10A + B) = 10^2V(A) + V(B)$で求める。（AとBは独立なので共分散は0）

$V(A) = \frac{1}{4}$。(1)で求めた。

$V(B) = E(B^2) - (E(B))^2$で求める。

$E(B^2) = 2^2 \times \frac{1}{2} + 4^2 \times \frac{1}{2} = 2 + 8 = 10$。

$V(B) = 10 - 3^2 = 10 - 9 = 1$。

$V(M) = 100 \times \frac{1}{4} + 1 = 25 + 1 = 26$。

3. 最終的な答え

A=2となる確率は $\frac{1}{2}$

E(A) = $\frac{3}{2}$

V(A) = $\frac{1}{4}$

E(M) = 18

V(M) = 26