ある会社Kで製造されたミネラルウォーターの内容量について、母平均 $m$、母標準偏差 $35$ とする。帰無仮説を $m=1000$、対立仮説を $m \neq 1000$ として仮説検定を行う。無作為に100本を抽出したときの標本平均を $\overline{X}$ とするとき、$\overline{X}$ が従う分布（サ）と、標準正規分布に従うように変換した変数 $Z$ の式（シ）を求める。

1. 問題の内容

ある会社Kで製造されたミネラルウォーターの内容量について、母平均 $m$、母標準偏差 $35$ とする。帰無仮説を $m=1000$、対立仮説を $m \neq 1000$ として仮説検定を行う。無作為に100本を抽出したときの標本平均を $\overline{X}$ とするとき、$\overline{X}$ が従う分布（サ）と、標準正規分布に従うように変換した変数 $Z$ の式（シ）を求める。

2. 解き方の手順

サ：

標本平均 $\overline{X}$ は、中心極限定理より近似的に正規分布に従う。母平均が $m$、母標準偏差が $\sigma$ の母集団から $n$ 個の標本を抽出したとき、標本平均 $\overline{X}$ は近似的に正規分布 $N(m, \frac{\sigma^2}{n})$ に従う。今回の問題では、$m=1000$, $\sigma = 35$, $n=100$ であるから、$\overline{X}$ は近似的に正規分布 $N(1000, \frac{35^2}{100})$ に従う。つまり、$\overline{X}$ は正規分布 $N(1000, 12.25)$ に従う。

シ：

$\overline{X}$ を標準化して $Z$ を求める。標準化の公式は $Z = \frac{\overline{X} - m}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}$ である。今回の問題では、$m=1000$, $\sigma = 35$, $n=100$ であるから、

$$$$

Z = \frac{\overline{X} - 1000}{\sqrt{\frac{35^2}{100}}} = \frac{\overline{X} - 1000}{\frac{35}{10}} = \frac{\overline{X} - 1000}{3.5}

$$$$

したがって、$Z = \frac{\overline{X} - 1000}{3.5}$ とおくと、$Z$ は近似的に標準正規分布に従う。

3. 最終的な答え

サ：正規分布

シ：$\frac{\overline{X} - 1000}{3.5}$