(1) 3つの穴A, B, Cに玉をそれぞれ等しい確率で入れるゲームを4回行う。 * 1回だけAに入る確率を求めよ。 * 1回もAに入らない確率を求めよ。 * 2回以上Aに入る確率を求めよ。 (2) AとBがゲームを繰り返し行う。引き分けはない。Aが1回のゲームで勝つ確率は$\frac{1}{2}$である。先に4回勝った方が優勝するとき、Aが4勝2敗で優勝する確率を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 3つの穴A, B, Cに玉をそれぞれ等しい確率で入れるゲームを4回行う。

* 1回だけAに入る確率を求めよ。

* 1回もAに入らない確率を求めよ。

* 2回以上Aに入る確率を求めよ。

(2) AとBがゲームを繰り返し行う。引き分けはない。Aが1回のゲームで勝つ確率は$\frac{1}{2}$である。先に4回勝った方が優勝するとき、Aが4勝2敗で優勝する確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

* 1回だけAに入る確率：4回のうち1回だけAに入り、残りの3回はBかCに入る確率を求める。Aに入る確率は$\frac{1}{3}$、BかCに入る確率は$\frac{2}{3}$である。

$P(\text{1回だけAに入る}) = {}_4C_1 \left(\frac{1}{3}\right)^1 \left(\frac{2}{3}\right)^3 = 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{27} = \frac{32}{81}$

* 1回もAに入らない確率：4回ともBかCに入る確率を求める。

$P(\text{1回もAに入らない}) = \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81}$

* 2回以上Aに入る確率：1から「Aに1回も入らない確率」と「Aに1回だけ入る確率」を引く。

$P(\text{2回以上Aに入る}) = 1 - P(\text{1回もAに入らない}) - P(\text{1回だけAに入る}) = 1 - \frac{16}{81} - \frac{32}{81} = 1 - \frac{48}{81} = \frac{33}{81} = \frac{11}{27}$

(2)

Aが4勝2敗で優勝するということは、6試合目でAが4勝目をあげるということである。つまり、5試合目までにAが3勝、Bが2勝している必要がある。その後、6試合目でAが勝つ。

5試合目までにAが3勝2敗となる確率は、

${}_5C_3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$

最後にAが勝つ確率は$\frac{1}{2}$なので、求める確率は、

$\frac{5}{16} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{32}$

3. 最終的な答え

(1)

* 1回だけAに入る確率は$\frac{32}{81}$

* 1回もAに入らない確率は$\frac{16}{81}$

* 2回以上Aに入る確率は$\frac{11}{27}$

(2)

Aが4勝2敗で優勝する確率は$\frac{5}{32}$