2年生6人と1年生4人のグループから代表4人を選ぶ。 (1) 代表4人の選び方は何通りあるか。 (2) 2年生のAさんが選ばれる選び方は何通りあるか。 (3) 2年生3人、1年生1人が選ばれる選び方は何通りあるか。 (4) 少なくとも1年生が1人選ばれる選び方は何通りあるか。

1. 問題の内容

2年生6人と1年生4人のグループから代表4人を選ぶ。

(1) 代表4人の選び方は何通りあるか。

(2) 2年生のAさんが選ばれる選び方は何通りあるか。

(3) 2年生3人、1年生1人が選ばれる選び方は何通りあるか。

(4) 少なくとも1年生が1人選ばれる選び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 全体の選び方

全体で10人から4人を選ぶので、組み合わせの総数は$_{10}C_4$で求められます。

$_{10}C_4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$

(2) Aさんが選ばれる選び方

Aさんが選ばれる場合、残りの3人は9人から選ぶことになるので、組み合わせの総数は$_{9}C_3$で求められます。

$_{9}C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$

(3) 2年生3人、1年生1人が選ばれる選び方

2年生から3人を選ぶ組み合わせは$_{6}C_3$通り、1年生から1人を選ぶ組み合わせは$_{4}C_1$通りです。

それぞれの選び方を掛け合わせることで、全体の選び方が求められます。

$_{6}C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

$_{4}C_1 = \frac{4!}{1!3!} = 4$

$20 \times 4 = 80$

(4) 少なくとも1年生が1人選ばれる選び方

これは、全体の選び方から1年生が1人も選ばれない選び方を引くことで求められます。

1年生が1人も選ばれない選び方（全員2年生）は、$_{6}C_4$で求められます。

$_{6}C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$210 - 15 = 195$

3. 最終的な答え

(1) 210通り

(2) 84通り

(3) 80通り

(4) 195通り