正方形ABCDがあり、辺ADの中点がEである。点Pは頂点Aを出発点とし、大小2つのサイコロの目の和の分だけ、正方形の辺上をB→C→D→A→B→...の順に進む。 (1) 点Pが点Eを通過するようなサイコロの目の出方は何通りあるか。 (2) 点Pが点Eをちょうど2回通過する確率を求めよ。

1. 問題の内容

正方形ABCDがあり、辺ADの中点がEである。点Pは頂点Aを出発点とし、大小2つのサイコロの目の和の分だけ、正方形の辺上をB→C→D→A→B→...の順に進む。

(1) 点Pが点Eを通過するようなサイコロの目の出方は何通りあるか。

(2) 点Pが点Eをちょうど2回通過する確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Pが点Eを通過するためには、点PはAからEまで移動すればよい。正方形ABCDの1辺の長さを $l$ とすると、$AE = l/2$ である。

点Pは反時計回りに移動するので、点Eに最初に到達するためには、移動距離が $l/2$ となる必要がある。また、2回目に到達するためには $l/2 + 4l = (9/2)l$、3回目は $l/2 + 8l = (17/2)l$ となる。

この問題ではサイコロの目の和は2以上12以下であるから、点Eに到達するのは、最初に到達する場合の距離 $l/2$ のみである。

正方形ABCDの1辺の長さを2とすると、AEの長さは1となる。

サイコロの目の和が1になることはないので、点Eに最初に到達するためには、目の合計が5になる必要がある。なぜなら、AからB、BからC、CからDの長さがそれぞれ2であり、DからEの長さが1だから、点Pが点Eに到達するには、合計で$2+2+2+1 = 7$動く必要があり、１周してEに来るためには $2+2+2+2+1=9$、2周してEに来るには、$7+8=15$動く必要がある。大きいサイコロと小さいサイコロの目の和が $n$ とすると、点Pが最初に点Eを通過するのは $n=5$ のときである。

目の和が5になるのは、(1,4), (2,3), (3,2), (4,1) の4通りである。

次に、1周して点Eに来る場合、目の和が $5+4=9$ になる。目の和が9になるのは、(3,6), (4,5), (5,4), (6,3) の4通りである。

2周して点Eに来る場合、目の和は $5+8=13$ となるが、サイコロの目の和が最大で12であるため、これは不可能である。

したがって、点Eを通過するのは、目の和が5か9の場合である。

目の和が5になるのは4通り、目の和が9になるのは4通りなので、合計で8通りである。

点Eを通過するサイコロの目の出方は、目の和が5になる4通り、目の和が9になる4通り。合計で $4 + 4 = 8$ 通り。

(2) 2つのサイコロの目の出方は $6 \times 6 = 36$ 通りである。

点Pが点Eをちょうど2回通過するのは、1回目がEを通過し、2回目もEを通過する場合である。

1回目に点Eを通過する目の和は5または9である。それぞれの場合について考える。

・1回目が5の場合：次に点Eを通過するには、残りの目の和が4でなければならない($5+4=9$)

・1回目が9の場合：次に点Eを通過するには、残りの目の和が5でなければならない($9+4=13$ だが13はありえないので、一周してEに到着するわけではない。)

1回目が5である確率は $4/36$。残り4だけ進む確率は5が4通りのため$4/36$。

1回目が9である確率は $4/36$。残り8だけ進む確率は、ありえないため、$0/36 = 0$。

したがって、点Eをちょうど2回通過する確率は、$4/36 \times 4/36 = 16/1296 = 1/81$。

3. 最終的な答え

(1) 8通り

(2) 1/81