数列 $\{ \log_2 a_n \}$ が初項2、公差-1の等差数列であるとき、数列 $\{ a_n \}$ が等比数列であることを示し、その初項と公比を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{ \log_2 a_n \}$ が初項2、公差-1の等差数列であるとき、数列 $\{ a_n \}$ が等比数列であることを示し、その初項と公比を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、数列 $\{ \log_2 a_n \}$ の一般項を求めます。等差数列の一般項は、初項を $a$、公差を $d$ とすると $a + (n-1)d$ で表されます。

この問題の場合、初項は2、公差は-1なので、

$$\log_2 a_n = 2 + (n-1)(-1) = 2 - n + 1 = 3 - n$$

となります。

次に、$a_n$ を求めます。両辺を2の指数とすると、

$$a_n = 2^{\log_2 a_n} = 2^{3-n}$$

が得られます。

ここで、$a_{n+1}$ を計算します。

$$a_{n+1} = 2^{3-(n+1)} = 2^{3-n-1} = 2^{2-n}$$

数列 $\{ a_n \}$ が等比数列であることを示すためには、$a_{n+1}/a_n$ が一定であることを示す必要があります。

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{2-n}}{2^{3-n}} = 2^{(2-n) - (3-n)} = 2^{2-n-3+n} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$$

したがって、$a_{n+1}/a_n = 1/2$ であるので、数列 $\{ a_n \}$ は公比が $1/2$ の等比数列です。

初項 $a_1$ は、

$$a_1 = 2^{3-1} = 2^2 = 4$$

となります。

3. 最終的な答え

数列 $\{ a_n \}$ は初項4、公比1/2の等比数列である。