与えられた数列 $1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, ...$ の第20項を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列 $1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, ...$ の第20項を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列の階差数列を考えます。

* 元の数列: $1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, ...$

* 階差数列: $2, 4, 6, 8, 10, 12, ...$

階差数列は等差数列であることがわかります。この等差数列の一般項は $2n$ です。

元の数列の一般項を $a_n$ とすると、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k$

となります。ここで $a_1 = 1$ です。

$\sum_{k=1}^{n-1} 2k = 2 \sum_{k=1}^{n-1} k = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = n(n-1) = n^2 - n$

したがって、

$a_n = 1 + n^2 - n = n^2 - n + 1$

第20項を求めるので、$n=20$ を代入します。

$a_{20} = 20^2 - 20 + 1 = 400 - 20 + 1 = 381$

3. 最終的な答え

381