## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

次の式を因数分解せよ。

(1) $a^2b+a-b-1$

(2) $x^2-8y+2xy-16$

(3) $4-4y+2xy-x^2$

(4) $x^2+xy-2x-3y-3$

(5) $a^2+b^2+bc-ca-2ab$

(6) $4x^2y-4x^2z+y^2z-y^3$

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2. 解き方の手順

(1) $a^2b+a-b-1$

共通因数でくくることを考える。

$a^2b-b+a-1 = b(a^2-1) + (a-1)$

さらに因数分解すると、

$b(a+1)(a-1) + (a-1) = (a-1)\{b(a+1)+1\} = (a-1)(ab+b+1)$

(2) $x^2-8y+2xy-16$

$x$ について整理する。

$x^2 + 2xy - 8y - 16$

$x^2 + 2xy - 16 - 8y = x^2-16+2y(x-4) = (x-4)(x+4)+2y(x-4)=(x-4)(x+4+2y)$

(3) $4-4y+2xy-x^2$

順番を入れ替える。

$-x^2+2xy-4y+4 = -(x^2-2xy+4y-4)$

$x$ について整理する。

$-(x^2-2xy)-(4-4y) = -(x(x-2y) + 4(y-1))$

並び替えて、定数項を分離する。

$4-4y+2xy-x^2=4-x^2+2xy-4y=(2-x)(2+x)+2y(x-2)=(2-x)(2+x)-2y(2-x)=(2-x)(2+x-2y)$

(4) $x^2+xy-2x-3y-3$

$x$ について整理する。

$x^2 + (y-2)x - (3y+3) = x^2 + (y-2)x - 3(y+1)$

$(x+3)(x-(3+1)) = (x+3)(x+y+1)$

掛け算して$-3(y+1)$になり、足し算して$(y-2)$になる２つの式を探す。

$(y+1)$ と $-3$ なので、$x^2 + (y-2)x -3(y+1) = (x-3)(x+(y+1))=(x-3)(x+y+1)$

(5) $a^2+b^2+bc-ca-2ab$

順番を入れ替える。

$a^2 - 2ab + b^2 - ca + bc = (a-b)^2 - c(a-b) = (a-b)(a-b-c)$

(6) $4x^2y-4x^2z+y^2z-y^3$

$z$ について整理する。

$4x^2y - 4x^2z + y^2z - y^3 = -4x^2z + y^2z + 4x^2y - y^3 = z(-4x^2+y^2) + y(4x^2-y^2) = z(y^2-4x^2) - y(y^2 - 4x^2) = (z-y)(y^2-4x^2) = (z-y)(y-2x)(y+2x)$

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3. 最終的な答え

(1) $(a-1)(ab+b+1)$

(2) $(x-4)(x+2y+4)$

(3) $(2-x)(2+x-2y)$

(4) $(x-3)(x+y+1)$

(5) $(a-b)(a-b-c)$

(6) $(z-y)(y-2x)(y+2x)$