2次方程式 $x^2 - ax + b = 0$ の2つの解にそれぞれ1を加えた数を解にもつ2次方程式が $x^2 - 2bx + 2a = 0$ である。定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - ax + b = 0$ の2つの解にそれぞれ1を加えた数を解にもつ2次方程式が $x^2 - 2bx + 2a = 0$ である。定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - ax + b = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = a$$

$$\alpha \beta = b$$

次に、2次方程式 $x^2 - 2bx + 2a = 0$ の2つの解は $\alpha+1$ と $\beta+1$ である。再び解と係数の関係より、

$$(\alpha+1) + (\beta+1) = 2b$$

$$(\alpha+1)(\beta+1) = 2a$$

これらの式を整理すると、

$$\alpha + \beta + 2 = 2b$$

$$\alpha \beta + \alpha + \beta + 1 = 2a$$

解と係数の関係から $\alpha + \beta = a$ と $\alpha \beta = b$ を代入して、

$$a + 2 = 2b$$

$$b + a + 1 = 2a$$

これらの連立方程式を解く。

$$a + 2 = 2b$$

$$b + a + 1 = 2a \Rightarrow b = a - 1$$

$b = a - 1$ を $a + 2 = 2b$ に代入すると、

$$a + 2 = 2(a - 1)$$

$$a + 2 = 2a - 2$$

$$a = 4$$

$b = a - 1$ より、$b = 4 - 1 = 3$

したがって、$a=4, b=3$ である。

3. 最終的な答え

$a=4, b=3$