$a$ は 1 より大きい定数とする。 不等式 $|x-a+1|>1$ (1) と $-6-x<2x\leq 2$ (2) を考える。 条件 (A) は、不等式 (1) と (2) を満たす整数 $x$ がちょうど 2 個存在する、というものである。 (1) 不等式 (1), (2) をそれぞれ解く。 (2) 次の (i), (ii), (iii) について、それぞれ (A) であるための (ア) 必要条件であるが十分条件ではない (イ) 十分条件であるが必要条件ではない (ウ) 必要十分条件である (エ) 必要条件でも十分条件でもない のどれかを答える。 (i) $a>1$ は (A) であるための [ ]。 (ii) $2<a\leq 3$ は (A) であるための [ ]。 (iii) $2<a<3$ は (A) であるための [ ]。

1. 問題の内容

$a$ は 1 より大きい定数とする。

不等式 $|x-a+1|>1$ (1) と $-6-x<2x\leq 2$ (2) を考える。

条件 (A) は、不等式 (1) と (2) を満たす整数 $x$ がちょうど 2 個存在する、というものである。

(1) 不等式 (1), (2) をそれぞれ解く。

(2) 次の (i), (ii), (iii) について、それぞれ (A) であるための (ア) 必要条件であるが十分条件ではない (イ) 十分条件であるが必要条件ではない (ウ) 必要十分条件である (エ) 必要条件でも十分条件でもない のどれかを答える。

(i) $a>1$ は (A) であるための [ ]。

(ii) $2<a\leq 3$ は (A) であるための [ ]。

(iii) $2<a<3$ は (A) であるための [ ]。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 (1) $|x-a+1|>1$ を解く。絶対値記号を外すと $x-a+1>1$ または $x-a+1<-1$ となる。

$x-a+1>1$ より $x>a$。

$x-a+1<-1$ より $x<a-2$。

したがって、(1) の解は $x<a-2$ または $x>a$ である。

不等式 (2) $-6-x<2x\leq 2$ を解く。

$-6-x<2x$ より $3x>-6$、すなわち $x>-2$。

$2x\leq 2$ より $x\leq 1$。

したがって、(2) の解は $-2<x\leq 1$ である。

(1) かつ (2) を満たす $x$ の範囲は、

$-2 < x < a-2$ または $a < x \leq 1$ である。

(2) (A) を満たす整数 $x$ がちょうど 2 個となる条件を考える。

$-2 < x \leq 1$ を満たす整数は $x = -1, 0, 1$ の 3 個である。

(A) の条件を満たすためには、$-2 < x < a-2$ または $a < x \leq 1$ の範囲に整数がちょうど 2 個含まれる必要がある。

$a>1$ より、$a<x\leq 1$ に整数が含まれない場合、$a\geq 1$ なのでこの範囲に整数が含まれることはない。よって$-2 < x < a-2$ に整数が 2 個含まれる必要がある。

(i) $a>1$ のとき、$-2 < x < a-2$ の範囲に整数が 2 個含まれるのは、$0 < a-2 \leq 1$ つまり $2 < a \leq 3$ のときである。

したがって、$a>1$ は (A) の必要条件であるが、十分条件ではない。(ア)

(ii) $2 < a \leq 3$ のとき、$-2 < x < a-2$ を満たす整数 $x$ は $-1, 0$ である。また、$a < x \leq 1$ を満たす整数 $x$ は存在しない。

したがって、$2 < a \leq 3$ は (A) の十分条件である。

逆に (A) を満たすとき、$a$ の範囲は $2 < a \leq 3$ であり、$a<3$ のとき $-2 < x < a-2$ に整数が2個含まれる。もし、$2< a < 3$ ならば、 $-2 < x < a-2$を満たす整数は $x=-1,0$の2つである。

$a=3$のとき、 $-2 < x < 1$を満たす整数は $x=-1,0$であり、$a<x\leq 1$には整数は存在しない。したがって、$2 < a \leq 3$ は (A) の必要十分条件である。(ウ)

(iii) $2 < a < 3$ のとき、$-2 < x < a-2$ を満たす整数 $x$ は $-1, 0$ である。また、$a < x \leq 1$ を満たす整数 $x$ は存在しない。

したがって、$2 < a < 3$ は (A) の十分条件である。

逆に (A) を満たすとき、$a$ の範囲は $2 < a \leq 3$ である。したがって、$2 < a < 3$ は (A) の必要条件ではない。

よって、$2 < a < 3$ は (A) の十分条件であるが必要条件ではない。(イ)

3. 最終的な答え

(1) $x<a-2$ または $x>a$, $-2<x\leq 1$

(2)

(i) (ア)

(ii) (ウ)

(iii) (イ)