与えられた二次方程式および二次不等式を解く問題です。(1)(2)は方程式の解を求め、(3)(4)(5)は選択肢の中から適切な答えを選びます。

1. 問題の内容

与えられた二次方程式および二次不等式を解く問題です。(1)(2)は方程式の解を求め、(3)(4)(5)は選択肢の中から適切な答えを選びます。

2. 解き方の手順

(1) $3x^2 - 2x - 8 = 0$

因数分解すると、$(3x+)(x+) = 0$の形になるはずです。実際には、$(3x+4)(x-2) = 0$と因数分解できます。

したがって、$x = -\frac{4}{3}, 2$

(2) $-x^2 + 5x - 3 = 0$

$x^2 - 5x + 3 = 0$

解の公式より、$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$に、$a=1, b=-5, c=3$を代入します。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$

(3) $9x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$

$(3x)^2 - 2(\sqrt{3}x)(1) + 1^2 = 0$

$(3x-\frac{\sqrt{3}}{3})^2=0$

$(3x - \sqrt{3}/3)^2 = 0$なので、$3x - \sqrt{3}/3 = 0$。よって、$x=\frac{\sqrt{3}}{9}$。

選択肢の中から、$x = \frac{\sqrt{3}}{9}$を選ぶ。よって、答えは②

(4) $x^2 + \sqrt{5}x - 10 > 0$

解の公式を用いて、$x^2 + \sqrt{5}x - 10 = 0$を解くと、

$x = \frac{-\sqrt{5} \pm \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 4(1)(-10)}}{2} = \frac{-\sqrt{5} \pm \sqrt{5+40}}{2} = \frac{-\sqrt{5} \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{-\sqrt{5} \pm 3\sqrt{5}}{2}$

$x = \frac{-\sqrt{5} + 3\sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

$x = \frac{-\sqrt{5} - 3\sqrt{5}}{2} = \frac{-4\sqrt{5}}{2} = -2\sqrt{5}$

よって、$x < -2\sqrt{5}, \sqrt{5} < x$となる。$-2 = - \frac{2}{1}$なので、$x < -\frac{11}{12}\sqrt{5}, \sqrt{5}<x$を選びます。従って、答えは①。

(5) $-\frac{1}{2}x^2 + 4x - 9 \leq 0$

$-x^2 + 8x - 18 \leq 0$

$x^2 - 8x + 18 \geq 0$

平方完成すると、$x^2 - 8x + 16 + 2 = (x-4)^2 + 2 \geq 0$となる。

$(x-4)^2 \geq -2$

$(x-4)^2$は常に0以上なので、常にこの不等式は成立する。

したがって、答えは①の「すべての実数」

3. 最終的な答え

(1) $x = -\frac{4}{3}, 2$

(2) $x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$

(3) ②

(4) ①

(5) ①