等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。2つの数列についてそれぞれ $S_n$ を求める必要があります。 (1) 初項3、公比2 (2) 初項1、公比 $\frac{1}{2}$

1. 問題の内容

等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。2つの数列についてそれぞれ $S_n$ を求める必要があります。

(1) 初項3、公比2

(2) 初項1、公比 $\frac{1}{2}$

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式を利用します。初項を $a$、公比を $r$ とすると、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、 $r \neq 1$ のとき

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

で表されます。 $r = 1$ のときは $S_n = na$ となります。

(1) 初項 $a=3$、公比 $r=2$ のとき：

$S_n = \frac{3(1-2^n)}{1-2} = \frac{3(1-2^n)}{-1} = -3(1-2^n) = 3(2^n-1)$

(2) 初項 $a=1$、公比 $r=\frac{1}{2}$ のとき：

$S_n = \frac{1(1-(\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1-(\frac{1}{2})^n}{\frac{1}{2}} = 2(1-(\frac{1}{2})^n) = 2(1-\frac{1}{2^n}) = 2-\frac{2}{2^n} = 2-\frac{1}{2^{n-1}}$

3. 最終的な答え

(1) $S_n = 3(2^n - 1)$

(2) $S_n = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$