次の連立不等式を解きます。 $\begin{cases} x^2 - 2x - 4 \geq 0 \\ -x^2 - x + 6 > 0 \end{cases}$

1. 問題の内容

次の連立不等式を解きます。

$\begin{cases}

x^2 - 2x - 4 \geq 0 \\

-x^2 - x + 6 > 0

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、1つ目の不等式 $x^2 - 2x - 4 \geq 0$ を解きます。

二次方程式 $x^2 - 2x - 4 = 0$ の解は、解の公式より、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

したがって、$x^2 - 2x - 4 \geq 0$ の解は、$x \leq 1 - \sqrt{5}$ または $x \geq 1 + \sqrt{5}$ です。

次に、2つ目の不等式 $-x^2 - x + 6 > 0$ を解きます。

両辺に $-1$ を掛けて、$x^2 + x - 6 < 0$ とします。

$x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$ なので、$(x + 3)(x - 2) < 0$ を解きます。

したがって、$-3 < x < 2$ です。

最後に、2つの不等式の解の共通範囲を求めます。

$1 - \sqrt{5} \approx 1 - 2.236 = -1.236$

$1 + \sqrt{5} \approx 1 + 2.236 = 3.236$

$x \leq 1 - \sqrt{5}$ または $x \geq 1 + \sqrt{5}$ と $-3 < x < 2$ の共通範囲は、 $-3 < x \leq 1 - \sqrt{5}$ です。

3. 最終的な答え

$-3 < x \leq 1 - \sqrt{5}$