与えられた連立不等式 $\begin{cases} x^2 - 2x - 4 \ge 0 \\ -x^2 - x + 6 > 0 \end{cases}$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた連立不等式

$\begin{cases}

x^2 - 2x - 4 \ge 0 \\

-x^2 - x + 6 > 0

\end{cases}$

を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解きます。

1つ目の不等式： $x^2 - 2x - 4 \ge 0$

解の公式を使って、$x^2 - 2x - 4 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

したがって、$x \le 1 - \sqrt{5}$ または $x \ge 1 + \sqrt{5}$

2つ目の不等式： $-x^2 - x + 6 > 0$

両辺に-1をかけて、$x^2 + x - 6 < 0$

因数分解して、$(x + 3)(x - 2) < 0$

したがって、$-3 < x < 2$

次に、2つの不等式の解を数直線上に図示し、共通範囲を求めます。

$1 - \sqrt{5} \approx 1 - 2.236 = -1.236$

$1 + \sqrt{5} \approx 1 + 2.236 = 3.236$

したがって、

$x \le 1 - \sqrt{5}$ または $x \ge 1 + \sqrt{5}$ と $-3 < x < 2$ の共通範囲は、

$-3 < x \le 1 - \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$-3 < x \le 1 - \sqrt{5}$