与えられた連立不等式 $ \begin{cases} x^2 - 2x - 4 \le 0 \\ -x^2 - x + 6 > 0 \end{cases} $ を解く。

1. 問題の内容

与えられた連立不等式

$\begin{cases} x^2 - 2x - 4 \le 0 \\ -x^2 - x + 6 > 0 \end{cases}$

を解く。

2. 解き方の手順

まず、一つ目の不等式 $x^2 - 2x - 4 \le 0$ を解く。

$x^2 - 2x - 4 = 0$ の解は、解の公式より

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

したがって、$1 - \sqrt{5} \le x \le 1 + \sqrt{5}$

次に、二つ目の不等式 $-x^2 - x + 6 > 0$ を解く。

両辺に -1 をかけて $x^2 + x - 6 < 0$

$(x+3)(x-2) < 0$

したがって、$-3 < x < 2$

連立不等式の解は、二つの不等式の解の共通部分なので、

$1 - \sqrt{5} \le x \le 1 + \sqrt{5}$ と $-3 < x < 2$ の共通部分を求める。

ここで、$\sqrt{5} \approx 2.236$ であるから、

$1 - \sqrt{5} \approx 1 - 2.236 = -1.236$

$1 + \sqrt{5} \approx 1 + 2.236 = 3.236$

したがって、$1 - \sqrt{5} \le x \le 1 + \sqrt{5}$ は約 $-1.236 \le x \le 3.236$ となる。

$-3 < x < 2$ と $-1.236 \le x \le 3.236$ の共通部分は

$-1.236 \le x < 2$

つまり、$1 - \sqrt{5} \le x < 2$

3. 最終的な答え

$1 - \sqrt{5} \le x < 2$