第2項が3、第5項が24である等比数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。ただし、公比は実数とする。

1. 問題の内容

第2項が3、第5項が24である等比数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。ただし、公比は実数とする。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項を $a_n = a r^{n-1}$ と表す。ここで、$a$は初項、$r$は公比、$n$は項数である。

第2項が3であることから、

$a_2 = a r^{2-1} = a r = 3$

第5項が24であることから、

$a_5 = a r^{5-1} = a r^4 = 24$

$a r^4 = 24$を $ar = 3$ で割ると、

$\frac{a r^4}{a r} = \frac{24}{3}$

$r^3 = 8$

$r = 2$

$ar = 3$に$r = 2$を代入すると、

$a \cdot 2 = 3$

$a = \frac{3}{2}$

よって、等比数列の一般項は、

$a_n = \frac{3}{2} \cdot 2^{n-1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2^n}{2} = 3 \cdot 2^{n-2}$

3. 最終的な答え

$a_n = 3 \cdot 2^{n-2}$