複数の線形代数の問題が出題されています。 * **問題1:** 3次正方行列 $A$ が任意の3次正方行列 $X$ に対して $AX = XA$ を満たすとき、$A = \alpha I$ ($\alpha$ はスカラー) であることを示せ。 * **問題2:** $m \times n$ 行列 $A$ が任意の $n$ 次元列ベクトル $x$ に対して $Ax = 0$ を満たすための必要十分条件は $A = 0$ であることを示せ。 * **問題3:** $A = [a_{ij}]$ は $m \times n$ 行列で、各成分 $a_{ij}$ は実数であるとする。このとき、$A^T A$ の対角成分がすべて0ならば $A = 0$ であることを示せ (やり方: $A^T A$ の $(i, i)$ 成分を $a_{ij}$ で表す)。 * **問題4:** * (1) $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ 0 & a_{22} \end{bmatrix}$ が正則行列であるための必要十分条件は $a_{11} a_{22} \neq 0$ であることを示せ。 * (2) $B = \begin{bmatrix} b_{11} & 0 & b_{13} \\ 0 & b_{22} & 0 \\ 0 & 0 & b_{33} \end{bmatrix}$ が正則行列であるための必要十分条件は $b_{11} b_{22} b_{33} \neq 0$ であることを示せ。 (やり方: $A, B$ に対して、正則行列の定義にある $X$ に相当する行列を試行錯誤で見つける。) * **問題5:** べき零行列 $A$ は正則ではないことを示せ。また、任意の実数 $c$ に対して $I + cA$ は正則であることを示せ。 * **問題6:** 正方行列 $A$ は単位行列 $I$ ではないべき等行列である ($A^2 = A$ を満たす) とする。このとき、$A$ は正則ではないことを示せ。 * **問題7:** * (1) $1 - ab \neq 0$ ならば2次正方行列 $\begin{bmatrix} 1 & a \\ b & 1 \end{bmatrix}$ は正則であることを示せ。 * (2) $n$ 次正方行列 $A, B$ に対して $I - AB$ が正則行列であるならば、2$n$ 次正方行列 $\begin{bmatrix} I & A \\ B & I \end{bmatrix}$ は正則であることを示せ。 * **問題8:** $A$ を $n$ 次正方行列とする。$P^{-1}AP = I + A$ となるような $n$ 次正則行列 $P$ は存在しないことを示せ (ヒント: 標準問題1.16 にあるトレースを用いる)。

## 解答

1. 問題の内容

複数の線形代数の問題が出題されています。

* **問題1:** 3次正方行列 $A$ が任意の3次正方行列 $X$ に対して $AX = XA$ を満たすとき、$A = \alpha I$ ($\alpha$ はスカラー) であることを示せ。

* **問題2:** $m \times n$ 行列 $A$ が任意の $n$ 次元列ベクトル $x$ に対して $Ax = 0$ を満たすための必要十分条件は $A = 0$ であることを示せ。

* **問題3:** $A = [a_{ij}]$ は $m \times n$ 行列で、各成分 $a_{ij}$ は実数であるとする。このとき、$A^T A$ の対角成分がすべて0ならば $A = 0$ であることを示せ (やり方: $A^T A$ の $(i, i)$ 成分を $a_{ij}$ で表す)。

* **問題4:**

* (1) $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ 0 & a_{22} \end{bmatrix}$ が正則行列であるための必要十分条件は $a_{11} a_{22} \neq 0$ であることを示せ。

* (2) $B = \begin{bmatrix} b_{11} & 0 & b_{13} \\ 0 & b_{22} & 0 \\ 0 & 0 & b_{33} \end{bmatrix}$ が正則行列であるための必要十分条件は $b_{11} b_{22} b_{33} \neq 0$ であることを示せ。

(やり方: $A, B$ に対して、正則行列の定義にある $X$ に相当する行列を試行錯誤で見つける。)

* **問題5:** べき零行列 $A$ は正則ではないことを示せ。また、任意の実数 $c$ に対して $I + cA$ は正則であることを示せ。

* **問題6:** 正方行列 $A$ は単位行列 $I$ ではないべき等行列である ($A^2 = A$ を満たす) とする。このとき、$A$ は正則ではないことを示せ。

* **問題7:**

* (1) $1 - ab \neq 0$ ならば2次正方行列 $\begin{bmatrix} 1 & a \\ b & 1 \end{bmatrix}$ は正則であることを示せ。

* (2) $n$ 次正方行列 $A, B$ に対して $I - AB$ が正則行列であるならば、2$n$ 次正方行列 $\begin{bmatrix} I & A \\ B & I \end{bmatrix}$ は正則であることを示せ。

* **問題8:** $A$ を $n$ 次正方行列とする。$P^{-1}AP = I + A$ となるような $n$ 次正則行列 $P$ は存在しないことを示せ (ヒント: 標準問題1.16 にあるトレースを用いる)。

2. 解き方の手順

* **問題1:**

スカラー倍の行列であることを示す問題です。

任意の行列との交換可能性から導きます。

特に、単位行列 $E_{ij}$ を用いると計算しやすいです。

$A = (a_{ij})$ とおきます。$AX = XA$ を満たすので、特に $X$ を $(i,j)$ 成分が1でその他が0の行列 $E_{ij}$ とすれば、

$AE_{ij} = E_{ij}A$ となります。この式の $(k,l)$ 成分を考えると、$k=i, l \neq j$ であれば $a_{ki} = 0$ であり、$k \neq i, l = j$ であれば $a_{jl}=0$ となります。したがって、$A$ は対角行列である必要があります。さらに、$i=j$ とすれば、$a_{ii} = a_{jj}$ である必要があるため、対角成分は全て等しく、 $A = \alpha I$ であることがわかります。

* **問題2:**

$A = [a_{ij}]$ とおきます。$x = e_j$ ($e_j$ は第 $j$ 成分が1でその他が0のベクトル) とすると、$Ax = 0$ は $A$ の第 $j$ 列がゼロベクトルであることを意味します。これがすべての $j$ について成り立つので、$A = 0$ です。

* **問題3:**

$A = [a_{ij}]$ とおくと、$A^T A$ の $(i, i)$ 成分は $\sum_{k=1}^m a_{ki}^2$ で与えられます。これが0であるという条件は、すべての $k$ に対して $a_{ki} = 0$ であることを意味します。これがすべての $i$ について成り立つので、$A = 0$ です。

* **問題4:**

(1)

$A$ が正則であることと $\det(A) \neq 0$ が同値であることを利用します。

$\det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12} \cdot 0 = a_{11} a_{22}$ なので、$a_{11} a_{22} \neq 0$ が必要十分条件です。

(2)

同様に、$B$ が正則であることと $\det(B) \neq 0$ が同値であることを利用します。

$\det(B) = b_{11} b_{22} b_{33}$ なので、$b_{11} b_{22} b_{33} \neq 0$ が必要十分条件です。

* **問題5:**

$A$ がべき零行列であるとは、$A^k = 0$ となる正の整数 $k$ が存在することです。もし $A$ が正則であると仮定すると、$A^{-1}$ が存在し、$A^k = 0$ の両辺に $(A^{-1})^k$ をかけると、$I = 0$ となり矛盾します。したがって、$A$ は正則ではありません。

次に、$I + cA$ が正則であることを示します。$A^k = 0$ となる最小の $k$ に対して、$B = I - cA + (cA)^2 - \dots + (-1)^{k-1} (cA)^{k-1}$ とおくと、

$(I + cA)B = I - (cA)^k = I$

$B(I+cA) = I - (cA)^k = I$

となるので、$B = (I + cA)^{-1}$ となり、$I + cA$ は正則です。

* **問題6:**

$A$ はべき等行列なので、$A^2 = A$ を満たします。もし $A$ が正則であると仮定すると、$A^{-1}$ が存在し、$A^2 = A$ の両辺に $A^{-1}$ をかけると、$A = I$ となり、$A$ が単位行列ではないという仮定に反します。したがって、$A$ は正則ではありません。

* **問題7:**

(1)

行列 $\begin{bmatrix} 1 & a \\ b & 1 \end{bmatrix}$ の行列式は $1 - ab$ なので、$1 - ab \neq 0$ ならばこの行列は正則です。

(2)

問題文が不完全ですが、$I - AB$ が正則なら $\begin{bmatrix} I & A \\ B & I \end{bmatrix}$ が正則であることを示します。

$\begin{bmatrix} I & A \\ B & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & -A \\ 0 & I \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & 0 \\ B & I - BA \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} I & -A \\ 0 & I \end{bmatrix}$ は正則なので、$\begin{bmatrix} I & A \\ B & I \end{bmatrix}$ が正則であることと、$\begin{bmatrix} I & 0 \\ B & I - BA \end{bmatrix}$が正則であることは同値。$\begin{bmatrix} I & 0 \\ B & I - BA \end{bmatrix}$の行列式は $det(I-BA)$ なので、$I-BA$が正則であれば良い。$I-BA$が正則であることと、$I-AB$が正則であることは同値なので、$I-AB$が正則であれば、$\begin{bmatrix} I & A \\ B & I \end{bmatrix}$は正則。

* **問題8:**

$P^{-1}AP = I + A$ の両辺のトレースを取ると、

$\text{tr}(P^{-1}AP) = \text{tr}(I + A)$

$\text{tr}(A) = \text{tr}(I) + \text{tr}(A)$

$0 = \text{tr}(I) = n$

これは矛盾なので、$P$ は存在しません。

3. 最終的な答え

各問題の答えは以下の通りです。

* **問題1:** $A = \alpha I$

* **問題2:** $A = 0$

* **問題3:** $A = 0$

* **問題4:** (1) $a_{11} a_{22} \neq 0$ (2) $b_{11} b_{22} b_{33} \neq 0$

* **問題5:** べき零行列は正則ではない。任意の実数 $c$ に対して $I + cA$ は正則。

* **問題6:** $A$ は正則ではない。

* **問題7:** (1) 正則である (2) 正則である

* **問題8:** $P$ は存在しない。