与えられた式 $a^6 - 64b^6$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^6 - 64b^6$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$a^6$と$64b^6$をそれぞれ$a^2$の3乗と$(4b^2)$の3乗、$a^3$の2乗と$(8b^3)$の2乗と見て、因数分解の公式を利用します。

2乗の差の公式 $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$と、3乗の差の公式 $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$、3乗の和の公式 $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$を利用します。

まず、$a^6 - 64b^6$ を 2 乗の差として因数分解します。

$a^6 - 64b^6 = (a^3)^2 - (8b^3)^2 = (a^3 - 8b^3)(a^3 + 8b^3)$

次に、$a^3 - 8b^3$ と $a^3 + 8b^3$ をそれぞれ3乗の差と3乗の和として因数分解します。

$a^3 - 8b^3 = a^3 - (2b)^3 = (a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)$

$a^3 + 8b^3 = a^3 + (2b)^3 = (a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$

したがって、

$a^6 - 64b^6 = (a^3 - 8b^3)(a^3 + 8b^3) = (a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$

$= (a - 2b)(a + 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)(a^2 - 2ab + 4b^2)$

あるいは、$a^6-64b^6 = (a^2)^3-(4b^2)^3$と見て、3乗の差の公式を使うと、

$a^6-64b^6 = (a^2-4b^2)(a^4+4a^2b^2+16b^4) = (a-2b)(a+2b)(a^4+4a^2b^2+16b^4)$

$a^4+4a^2b^2+16b^4 = a^4+8a^2b^2+16b^4 - 4a^2b^2 = (a^2+4b^2)^2-(2ab)^2 = (a^2+4b^2-2ab)(a^2+4b^2+2ab)$

$a^6-64b^6 = (a-2b)(a+2b)(a^2-2ab+4b^2)(a^2+2ab+4b^2)$

3. 最終的な答え

$(a - 2b)(a + 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)(a^2 - 2ab + 4b^2)$