初項から第3項までの和が3、第2項から第4項までの和が-6である等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求める。

1. 問題の内容

初項から第3項までの和が3、第2項から第4項までの和が-6である等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求める。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を$a$、公比を$r$とすると、

初項から第3項までの和は、$a + ar + ar^2$ であり、これが3に等しいので、

$a + ar + ar^2 = 3$ ...(1)

第2項から第4項までの和は、$ar + ar^2 + ar^3$ であり、これが-6に等しいので、

$ar + ar^2 + ar^3 = -6$ ...(2)

(2)式を(1)式で割ると、

$\frac{ar + ar^2 + ar^3}{a + ar + ar^2} = \frac{-6}{3}$

$\frac{ar(1 + r + r^2)}{a(1 + r + r^2)} = -2$

$r = -2$

これを(1)式に代入すると、

$a + a(-2) + a(-2)^2 = 3$

$a - 2a + 4a = 3$

$3a = 3$

$a = 1$

3. 最終的な答え

初項 $a = 1$

公比 $r = -2$