(1) 平面上に3点 $O(0,0)$, $A(1,2)$, $B(-10,1)$ と動点 $P$ がある。このとき、$OP^2 + AP^2 + BP^2$ を最小にする点 $P$ の $x$ 座標とその最小値を求めよ。 (2) 放物線 $y = 4x^2 + 2ax - 1$ を $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動すると点 $(2, 1)$ を通る。このとき、定数 $a$ の値を求めよ。さらに、この平行移動した放物線を直線 $x = 5$ に関して対称移動した放物線の方程式を求めよ。 (3) 方程式 $|x+2| + |y| = 6$ の表す図を描け。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 平面上に3点 $O(0,0)$, $A(1,2)$, $B(-10,1)$ と動点 $P$ がある。このとき、$OP^2 + AP^2 + BP^2$ を最小にする点 $P$ の $x$ 座標とその最小値を求めよ。

(2) 放物線 $y = 4x^2 + 2ax - 1$ を $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動すると点 $(2, 1)$ を通る。このとき、定数 $a$ の値を求めよ。さらに、この平行移動した放物線を直線 $x = 5$ に関して対称移動した放物線の方程式を求めよ。

(3) 方程式 $|x+2| + |y| = 6$ の表す図を描け。

2. 解き方の手順

(1)

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とする。

$OP^2 = x^2 + y^2$

$AP^2 = (x-1)^2 + (y-2)^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 2x + y^2 - 4y + 5$

$BP^2 = (x+10)^2 + (y-1)^2 = x^2 + 20x + 100 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 20x + y^2 - 2y + 101$

$OP^2 + AP^2 + BP^2 = (x^2 + y^2) + (x^2 - 2x + y^2 - 4y + 5) + (x^2 + 20x + y^2 - 2y + 101)$

$= 3x^2 + 18x + 3y^2 - 6y + 106$

$= 3(x^2 + 6x) + 3(y^2 - 2y) + 106$

$= 3(x^2 + 6x + 9 - 9) + 3(y^2 - 2y + 1 - 1) + 106$

$= 3(x+3)^2 - 27 + 3(y-1)^2 - 3 + 106$

$= 3(x+3)^2 + 3(y-1)^2 + 76$

$OP^2 + AP^2 + BP^2$ を最小にするのは、$(x+3)^2 = 0$ かつ $(y-1)^2 = 0$ のとき。

したがって、$x = -3$, $y = 1$ であり、$P(-3, 1)$

この時の最小値は $76$

(2)

$y = 4x^2 + 2ax - 1$ を $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動すると、

$y - 2 = 4(x+1)^2 + 2a(x+1) - 1$

$y = 4(x^2 + 2x + 1) + 2ax + 2a - 1 + 2$

$y = 4x^2 + 8x + 4 + 2ax + 2a + 1$

$y = 4x^2 + (8+2a)x + 5 + 2a$

これが点 $(2, 1)$ を通るので、

$1 = 4(2^2) + (8+2a)(2) + 5 + 2a$

$1 = 16 + 16 + 4a + 5 + 2a$

$1 = 37 + 6a$

$6a = -36$

$a = -6$

平行移動後の放物線は $y = 4x^2 + (8+2(-6))x + 5 + 2(-6) = 4x^2 - 4x - 7$

$y = 4x^2 - 4x - 7$ を直線 $x = 5$ に関して対称移動すると、

$x$ を $10 - x$ に置き換える。

$y = 4(10 - x)^2 - 4(10 - x) - 7$

$y = 4(100 - 20x + x^2) - 40 + 4x - 7$

$y = 400 - 80x + 4x^2 - 40 + 4x - 7$

$y = 4x^2 - 76x + 353$

(3)

$|x+2| + |y| = 6$

場合分け

i) $x \geq -2, y \geq 0$ のとき

$x+2 + y = 6$

$y = -x + 4$ ($x \geq -2$, $y \geq 0$ なので $-2 \leq x \leq 4$)

ii) $x \geq -2, y < 0$ のとき

$x+2 - y = 6$

$y = x - 4$ ($x \geq -2$, $y < 0$ なので $-2 \leq x < 4$)

iii) $x < -2, y \geq 0$ のとき

$-(x+2) + y = 6$

$y = x + 8$ ($x < -2$, $y \geq 0$ なので $-8 \leq x < -2$)

iv) $x < -2, y < 0$ のとき

$-(x+2) - y = 6$

$y = -x - 8$ ($x < -2$, $y < 0$ なので $-8 < x < -2$)

この４つの直線を描けばよい。

3. 最終的な答え

(1) $x$ 座標は $-3$ であり、最小値は $76$ である。

(2) $a = -6$ であり、対称移動した放物線の方程式は $y = 4x^2 - 76x + 353$ である。

(3) $|x+2| + |y| = 6$ のグラフは、以下の４つの直線で構成されるひし形である。

$y = -x + 4$ ($-2 \leq x \leq 4$)

$y = x - 4$ ($-2 \leq x < 4$)

$y = x + 8$ ($-8 \leq x < -2$)

$y = -x - 8$ ($-8 < x < -2$)