等比数列 $\{a_n\}$ において、$a_2 + a_3 = 6$ かつ $a_4 + a_5 = 54$ であるとき、数列 $\{a_n\}$ の初項と公比を求めよ。

1. 問題の内容

等比数列 $\{a_n\}$ において、$a_2 + a_3 = 6$ かつ $a_4 + a_5 = 54$ であるとき、数列 $\{a_n\}$ の初項と公比を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を $a$, 公比を $r$ とすると、数列の一般項は $a_n = a r^{n-1}$ と表される。

与えられた条件から、以下の2つの式が得られる。

$a_2 + a_3 = ar + ar^2 = 6$ (1)

$a_4 + a_5 = ar^3 + ar^4 = 54$ (2)

式(2)を式(1)で割ると、

$\frac{ar^3 + ar^4}{ar + ar^2} = \frac{ar^3(1 + r)}{ar(1 + r)} = r^2 = \frac{54}{6} = 9$

したがって、$r^2 = 9$ より、$r = \pm 3$

(i) $r = 3$ のとき

式(1)より、$a(3) + a(3^2) = 3a + 9a = 12a = 6$

よって、$a = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

(ii) $r = -3$ のとき

式(1)より、$a(-3) + a(-3)^2 = -3a + 9a = 6a = 6$

よって、$a = \frac{6}{6} = 1$

3. 最終的な答え

(i) 初項 $a = \frac{1}{2}$, 公比 $r = 3$

(ii) 初項 $a = 1$, 公比 $r = -3$