数列 $1, 3, 5, 7, \dots$ の一般項を $a_n$ とし、$b_n = 3^{a_n}$ とする。数列 $\{b_n\}$ が等比数列をなすことを示し、数列 $\{b_n\}$ の初項と公比を求める。

1. 問題の内容

数列 $1, 3, 5, 7, \dots$ の一般項を $a_n$ とし、$b_n = 3^{a_n}$ とする。数列 $\{b_n\}$ が等比数列をなすことを示し、数列 $\{b_n\}$ の初項と公比を求める。

2. 解き方の手順

数列 $1, 3, 5, 7, \dots$ は初項1、公差2の等差数列なので、一般項 $a_n$ は

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a_n = 1 + (n-1) \times 2 = 2n - 1

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となる。

次に、$b_n = 3^{a_n}$ なので、

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b_n = 3^{2n-1}

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となる。

$\frac{b_{n+1}}{b_n}$ が一定であることを示せば、数列 $\{b_n\}$ が等比数列であることが示される。

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\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3^{2(n+1)-1}}{3^{2n-1}} = \frac{3^{2n+2-1}}{3^{2n-1}} = \frac{3^{2n+1}}{3^{2n-1}} = 3^{(2n+1)-(2n-1)} = 3^2 = 9

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$\frac{b_{n+1}}{b_n} = 9$ で一定なので、数列 $\{b_n\}$ は公比が9の等比数列である。

初項は $b_1 = 3^{2(1)-1} = 3^1 = 3$ である。

3. 最終的な答え

数列 $\{b_n\}$ は等比数列であり、初項は3、公比は9である。