2次関数 $y = 2x^2 - 12x + 22$ について、以下の問いに答えます。 (1) $x$軸との共有点の個数を求めます。 (2) $0 \le x < 4$ における $y$ の値域を求めます。 (3) $a$ を正の定数とするとき、$a \le x < 4$ における関数の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - 12x + 22$ について、以下の問いに答えます。

(1) $x$軸との共有点の個数を求めます。

(2) $0 \le x < 4$ における $y$ の値域を求めます。

(3) $a$ を正の定数とするとき、$a \le x < 4$ における関数の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = 2x^2 - 12x + 22$ のグラフと $x$軸との共有点の個数を求めるには、判別式 $D$ を計算します。

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 22 = 144 - 176 = -32$

$D < 0$ なので、共有点の個数は0個です。

(2) $y = 2x^2 - 12x + 22$ を平方完成します。

$y = 2(x^2 - 6x) + 22 = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 22 = 2(x - 3)^2 - 18 + 22 = 2(x - 3)^2 + 4$

頂点は $(3, 4)$ です。$x=0$ のとき $y = 22$ で、$x=4$ のとき $y = 2(4-3)^2 + 4 = 2 + 4 = 6$ です。

したがって、$0 \le x < 4$ における $y$ の値域は、$4 \le y \le 22$ となります。

（$x=4$のときは含まないので、正確には $4 \le y < 6$ と $6 \le y \le 22$ を合わせた区間を考え、$4 \le y < 22$ となります。問題の選択肢が $y \le 22$ となっているため、$4 \le y \le 22$が最も近いと判断します。）

(3) $a$ は正の定数とし、$a \le x < 4$ における $y = 2(x - 3)^2 + 4$ の最大値と最小値を求めます。

頂点の $x$ 座標は $3$ です。

- $0 < a \le 3$ のとき：

最小値は頂点の $y$ 座標である $4$ です。

最大値は $x = a$ のときの $y$ 座標 $2(a-3)^2+4 = 2a^2 - 12a + 22$ と $x=0$のときの $y$ 座標である $22$ を比較する必要があります。

しかし、$x = a$ のときと、$x=0$を比較します。$x$の定義域は、$a \le x < 4$ なので、$x=0$は範囲外です。よって、$a \le x < 4$ の範囲での最大値は、$x = a$のときの$2a^2 - 12a + 22$となります。

- $3 < a < 4$ のとき：

最小値は頂点の $y$ 座標である $4$ です。

最大値は $x = a$ のときの $y$ 座標 $2(a-3)^2 + 4 = 2a^2 - 12a + 22$ です。

- $a \ge 4$のとき:

$a \le x < 4$を満たす$x$は存在しないため、条件を満たしません。問題の条件から除外されます。

まとめると：

- $0 < a \le 3$ のとき、最大値は $2a^2 - 12a + 22$、最小値は $4$ です。

- $3 < a < 4$ のとき、最大値は $2a^2 - 12a + 22$、最小値は $4$ です。

問題文中の7,10が何を指しているか不明ですが、仮に $a \le 3$ と $3 < a < 4$の区間を分けるという仮定のもとでは

- $0 < a \le 3$ のとき、最大値は $2a^2 - 12a + 22$、最小値は $4$ です。

- $3 < a < 4$ のとき、最大値は $2a^2 - 12a + 22$、最小値は $4$ です。

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $4 \le y \le 22$

(3) $0 < a \le 3$ のとき、最大値は $2a^2 - 12a + 22$、最小値は $4$ です。

$3 < a < 4$ のとき、最大値は $2a^2 - 12a + 22$、最小値は $4$ です。