次の式を因数分解する問題です。 (1) $(x+y)^4 - (x-y)^4$ (2) $a^2b+a^2-b-1$ (3) $(a+b+c+1)(a+1)+bc$ (4) $(x-1)(x-2)(x-3)(x-6)-3x^2$ (5) $a^2b^2(a-b)+b^2c^2(b-c)+c^2a^2(c-a)$

1. 問題の内容

次の式を因数分解する問題です。

(1) $(x+y)^4 - (x-y)^4$

(2) $a^2b+a^2-b-1$

(3) $(a+b+c+1)(a+1)+bc$

(4) $(x-1)(x-2)(x-3)(x-6)-3x^2$

(5) $a^2b^2(a-b)+b^2c^2(b-c)+c^2a^2(c-a)$

2. 解き方の手順

(1) $(x+y)^4 - (x-y)^4$ を因数分解します。

$A = x+y$, $B = x-y$ とおくと、

$A^4 - B^4 = (A^2 + B^2)(A^2 - B^2) = (A^2+B^2)(A+B)(A-B)$

$A^2 = (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$

$B^2 = (x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$

$A^2 + B^2 = 2x^2 + 2y^2 = 2(x^2+y^2)$

$A+B = x+y+x-y = 2x$

$A-B = x+y-(x-y) = 2y$

したがって、

$(x+y)^4 - (x-y)^4 = 2(x^2+y^2) \cdot 2x \cdot 2y = 8xy(x^2+y^2)$

(2) $a^2b+a^2-b-1$ を因数分解します。

$a^2b+a^2-b-1 = a^2(b+1)-(b+1) = (a^2-1)(b+1) = (a+1)(a-1)(b+1)$

(3) $(a+b+c+1)(a+1)+bc$ を因数分解します。

$(a+b+c+1)(a+1)+bc = (a+b+c+1)(a+1)+bc = (a+1)(a+1) + (b+c)(a+1) + bc = (a+1)^2 + (b+c)(a+1) + bc$

$A = a+1$ とおくと、

$A^2 + (b+c)A + bc = (A+b)(A+c) = (a+1+b)(a+1+c) = (a+b+1)(a+c+1)$

(4) $(x-1)(x-2)(x-3)(x-6)-3x^2$ を因数分解します。

$(x-1)(x-2)(x-3)(x-6)-3x^2 = (x-1)(x-6)(x-2)(x-3)-3x^2 = (x^2-7x+6)(x^2-5x+6)-3x^2$

$A = x^2+6$ とおくと、

$(A-7x)(A-5x)-3x^2 = A^2 -12Ax + 35x^2 - 3x^2 = A^2 - 12Ax + 32x^2 = (A-4x)(A-8x) = (x^2+6-4x)(x^2+6-8x) = (x^2-4x+6)(x^2-8x+6)$

(5) $a^2b^2(a-b)+b^2c^2(b-c)+c^2a^2(c-a)$ を因数分解します。

与式 = $a^3b^2-a^2b^3+b^3c^2-b^2c^3+c^3a^2-c^2a^3$

これは、$a, b, c$ に関する 5 次の交代式なので $(a-b)(b-c)(c-a)$ を因数にもちます。

$a^2b^2(a-b)+b^2c^2(b-c)+c^2a^2(c-a) = -(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$

3. 最終的な答え

(1) $8xy(x^2+y^2)$

(2) $(a+1)(a-1)(b+1)$

(3) $(a+b+1)(a+c+1)$

(4) $(x^2-4x+6)(x^2-8x+6)$

(5) $-(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$