多項式 $x^3 - (k-2)x^2 - (k-3)x + 2k + 6$ を $x-1$ で割った時の商と余りを求める問題です。

1. 問題の内容

多項式 $x^3 - (k-2)x^2 - (k-3)x + 2k + 6$ を $x-1$ で割った時の商と余りを求める問題です。

2. 解き方の手順

筆算で多項式の割り算を行います。

まず、$x^3 - (k-2)x^2 - (k-3)x + 2k + 6$ を $x-1$ で割ることを考えます。

(1) $x^3$ を $x$ で割ると $x^2$ なので、商の最初の項は $x^2$ です。

$x^2(x-1) = x^3 - x^2$ を $x^3 - (k-2)x^2 - (k-3)x + 2k + 6$ から引きます。

$(x^3 - (k-2)x^2 - (k-3)x + 2k + 6) - (x^3 - x^2) = (-k+2+1)x^2 - (k-3)x + 2k + 6 = (-k+3)x^2 - (k-3)x + 2k + 6$

(2) $(-k+3)x^2$ を $x$ で割ると $(-k+3)x$ なので、商の次の項は $(-k+3)x$ です。

$(-k+3)x(x-1) = (-k+3)x^2 - (-k+3)x$ を $(-k+3)x^2 - (k-3)x + 2k + 6$ から引きます。

$((-k+3)x^2 - (k-3)x + 2k + 6) - ((-k+3)x^2 - (-k+3)x) = (-k+3 - k + 3)x + 2k + 6 = (-2k + 6)x + 2k + 6$

(3) $(-2k+6)x$ を $x$ で割ると $(-2k+6)$ なので、商の次の項は $(-2k+6)$ です。

$(-2k+6)(x-1) = (-2k+6)x - (-2k+6)$ を $(-2k+6)x + 2k + 6$ から引きます。

$((-2k+6)x + 2k + 6) - ((-2k+6)x - (-2k+6)) = (2k + 6) - (-2k + 6) = 2k + 6 + 2k - 6 = 4k$

したがって、商は $x^2 + (-k+3)x + (-2k+6)$ で、余りは $4k$ です。

3. 最終的な答え

商: $x^2 + (3-k)x + (6-2k)$

余り: $4k$