与えられた4つの式を因数分解します。 (1) $8x^3 + 27$ (2) $a^3 - 125b^3$ (3) $81x^3 + 24y^3$ (4) $4x - 32x^4$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解します。

(1) $8x^3 + 27$

(2) $a^3 - 125b^3$

(3) $81x^3 + 24y^3$

(4) $4x - 32x^4$

2. 解き方の手順

(1) $8x^3 + 27$ は、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を利用します。

$8x^3 = (2x)^3$、 $27 = 3^3$ なので、

$8x^3 + 27 = (2x+3)((2x)^2 - (2x)(3) + 3^2) = (2x+3)(4x^2 - 6x + 9)$

(2) $a^3 - 125b^3$ は、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を利用します。

$125b^3 = (5b)^3$ なので、

$a^3 - 125b^3 = (a-5b)(a^2 + a(5b) + (5b)^2) = (a-5b)(a^2 + 5ab + 25b^2)$

(3) $81x^3 + 24y^3$ は、まず共通因数で括ります。

$81x^3 + 24y^3 = 3(27x^3 + 8y^3)$

$27x^3 = (3x)^3$、 $8y^3 = (2y)^3$ なので、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を利用します。

$3(27x^3 + 8y^3) = 3((3x)^3 + (2y)^3) = 3(3x+2y)((3x)^2 - (3x)(2y) + (2y)^2) = 3(3x+2y)(9x^2 - 6xy + 4y^2)$

(4) $4x - 32x^4$ は、まず共通因数で括ります。

$4x - 32x^4 = 4x(1 - 8x^3)$

$8x^3 = (2x)^3$ なので、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を利用します。

$4x(1 - 8x^3) = 4x(1 - (2x)^3) = 4x(1-2x)(1^2 + 1(2x) + (2x)^2) = 4x(1-2x)(1+2x+4x^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(2x+3)(4x^2 - 6x + 9)$

(2) $(a-5b)(a^2 + 5ab + 25b^2)$

(3) $3(3x+2y)(9x^2 - 6xy + 4y^2)$

(4) $4x(1-2x)(1+2x+4x^2)$