$x, y$ が以下の4つの不等式を満たすとき、$x + y$ の最大値と最小値を求める問題です。 * $x \geq 0$ * $y \geq 0$ * $x + 2y \leq 8$ * $3x + y \leq 9$

1. 問題の内容

$x, y$ が以下の4つの不等式を満たすとき、$x + y$ の最大値と最小値を求める問題です。

* $x \geq 0$

* $y \geq 0$

* $x + 2y \leq 8$

* $3x + y \leq 9$

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式から領域を求めます。

* $x \geq 0$ は、$y$軸より右側の領域を表します。

* $y \geq 0$ は、$x$軸より上側の領域を表します。

* $x + 2y \leq 8$ は、直線 $x + 2y = 8$ の下側の領域を表します。この直線は、$(8, 0)$ と $(0, 4)$ を通ります。

* $3x + y \leq 9$ は、直線 $3x + y = 9$ の下側の領域を表します。この直線は、$(3, 0)$ と $(0, 9)$ を通ります。

これらの不等式をすべて満たす領域は、四角形になります。この四角形の頂点は、以下の手順で求めます。

* $(0, 0)$ は明らかです。

* $x$軸との交点は、$x + 2y = 8$ より $(8, 0)$、$3x + y = 9$ より $(3, 0)$ です。$x \geq 0$ を満たす範囲で、$3x+y\le 9$を満たすのは$(3,0)$です。

* $y$軸との交点は、$x + 2y = 8$ より $(0, 4)$、$3x + y = 9$ より $(0, 9)$ です。$y \geq 0$ を満たす範囲で、$x+2y \le 8$を満たすのは$(0,4)$です。

* 直線 $x + 2y = 8$ と $3x + y = 9$ の交点を求めます。2つの式から $x$ と $y$ の連立方程式を解きます。

$x + 2y = 8$

$3x + y = 9$

上の式を3倍すると $3x + 6y = 24$。下の式を引くと $5y = 15$、したがって $y = 3$。

これを $x + 2y = 8$ に代入すると、$x + 2(3) = 8$、つまり $x = 2$。

したがって、交点は $(2, 3)$ です。

したがって、領域の頂点は、$(0, 0), (3, 0), (2, 3), (0, 4)$ です。

$x + y$ の最大値と最小値を求めるために、これらの頂点で $x + y$ の値を計算します。

* $(0, 0)$ で $x + y = 0$

* $(3, 0)$ で $x + y = 3$

* $(2, 3)$ で $x + y = 5$

* $(0, 4)$ で $x + y = 4$

3. 最終的な答え

したがって、$x + y$ の最大値は 5 で、最小値は 0 です。

最大値：5

最小値：0