(1) 多項式 $1 + 2x + 3x^4 - x^2$ は何次式か。 (2) 多項式 $a^4 + 3a^2b + 2ab^2 - 1$ は、次の文字に着目すると何次式になるか。また、そのときの定数項は何か。 (ア) $a$ (イ) $b$ (ウ) $a$ と $b$

1. 問題の内容

(1) 多項式 $1 + 2x + 3x^4 - x^2$ は何次式か。

(2) 多項式 $a^4 + 3a^2b + 2ab^2 - 1$ は、次の文字に着目すると何次式になるか。また、そのときの定数項は何か。

(ア) $a$

(イ) $b$

(ウ) $a$ と $b$

2. 解き方の手順

(1) 多項式の次数は、各項の次数のうち最も大きいものです。

$1$ の次数は $0$、 $2x$ の次数は $1$、 $3x^4$ の次数は $4$、 $-x^2$ の次数は $2$ です。

よって、多項式 $1 + 2x + 3x^4 - x^2$ の次数は $4$ です。

(2) (ア) $a$ に着目する場合、$a$ の次数だけを見ます。

$a^4$ の次数は $4$、$3a^2b$ の次数は $2$、$2ab^2$ の次数は $1$、$-1$ の次数は $0$ です。

よって、$a$ に着目すると、次数は $4$ になります。定数項は $a$ を含まない項なので、 $-1$ です。

(イ) $b$ に着目する場合、$b$ の次数だけを見ます。

$a^4$ の次数は $0$、$3a^2b$ の次数は $1$、$2ab^2$ の次数は $2$、$-1$ の次数は $0$ です。

よって、$b$ に着目すると、次数は $2$ になります。定数項は $b$ を含まない項なので、$a^4 - 1$ です。

(ウ) $a$ と $b$ に着目する場合、$a$ と $b$ の次数の和を見ます。

$a^4$ の次数は $4$、$3a^2b$ の次数は $3$、$2ab^2$ の次数は $3$、$-1$ の次数は $0$ です。

よって、$a$ と $b$ に着目すると、次数は $4$ になります。定数項は $a$ と $b$ を含まない項なので、$-1$ です。

3. 最終的な答え

(1) 4次式

(2) (ア) 4次式、定数項は $-1$

(イ) 2次式、定数項は $a^4-1$

(ウ) 4次式、定数項は $-1$