与えられた多項式 $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$6x^2 + 7xy + 2y^2$の部分を因数分解します。これは、$6x^2 + 3xy + 4xy + 2y^2$と変形でき、$3x(2x+y) + 2y(2x+y)$ となり、$(3x+2y)(2x+y)$と因数分解できます。

与えられた式は、

$(3x+2y)(2x+y) + x - 2$となります。

次に、与えられた式全体を因数分解することを考えます。定数項が-2であることと、$6x^2$の係数が6であることから、(ax+by+c)(dx+ey+f)の形で因数分解できると仮定します。

$(3x+2y+a)(2x+y+b)$ と仮定すると、$3xb + 2xa + 2yb + ya + ab$と、定数項 $ab$ が -2 になることから、aとbは異なる符号を持つ整数だと考えられます。

また、$x$の係数が1であることより、$3b + 2a = 1$ という式が得られます。

$ab = -2$ と $3b + 2a = 1$を満たす整数a, bの組み合わせを考えます。

(a, b) = (2, -1)のとき、$3b + 2a = 3(-1) + 2(2) = -3 + 4 = 1$となり、条件を満たします。

したがって、$(3x+2y+2)(2x+y-1)$ と因数分解できる可能性があります。

これを展開して確認します。

$(3x+2y+2)(2x+y-1) = 6x^2 + 3xy - 3x + 4xy + 2y^2 - 2y + 4x + 2y - 2 = 6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$となり、与えられた式と一致します。

3. 最終的な答え

$(3x+2y+2)(2x+y-1)$