(1) $x+y+z=3$, $xy+yz+zx=1$, $xyz=-2$ のとき、以下の値を求めよ。 (ア) $x^2+y^2+z^2$ (イ) $x^3+y^3+z^3$ (2) $x+y+z=p$, $xy+yz+zx=q$, $xyz=r$ のとき、$(x+y)(y+z)(z+x)$を$p, q, r$を用いて表せ。

1. 問題の内容

(1) $x+y+z=3$, $xy+yz+zx=1$, $xyz=-2$ のとき、以下の値を求めよ。

(ア) $x^2+y^2+z^2$

(イ) $x^3+y^3+z^3$

(2) $x+y+z=p$, $xy+yz+zx=q$, $xyz=r$ のとき、$(x+y)(y+z)(z+x)$を$p, q, r$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) (ア) $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)$ を利用する。

$x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx)$

(1) (イ) $x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ を利用する。

$x^3+y^3+z^3 = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) + 3xyz$

(2) $(x+y)(y+z)(z+x) = (x+y+z-z)(x+y+z-x)(x+y+z-y) = (p-z)(p-x)(p-y) = p^3 - p^2(x+y+z) + p(xy+yz+zx) - xyz$ を利用する。

$(x+y)(y+z)(z+x) = (p-x)(p-y)(p-z) = p^3-p^2(x+y+z)+p(xy+yz+zx)-xyz$

(1) (ア)

$x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx) = 3^2 - 2(1) = 9-2=7$

(1) (イ)

$x^3+y^3+z^3 = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz = (3)(7-1) + 3(-2) = 3(6) - 6 = 18-6=12$

(2)

$(x+y)(y+z)(z+x) = (p-x)(p-y)(p-z) = p^3-p^2(x+y+z)+p(xy+yz+zx)-xyz = p^3 - p^2(p) + pq - r = pq-r$

3. 最終的な答え

(1) (ア) $7$

(1) (イ) $12$

(2) $pq-r$