$f(x) = x^2 - 2mx + m + 6$ について、以下の2つの問いに答える。 (1) 不等式 $f(x) \ge 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つような $m$ の値の範囲を求める。 (2) 方程式 $f(x) = 0$ が1より大きい異なる2つの実数解をもつような $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$f(x) = x^2 - 2mx + m + 6$ について、以下の2つの問いに答える。

(1) 不等式 $f(x) \ge 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つような $m$ の値の範囲を求める。

(2) 方程式 $f(x) = 0$ が1より大きい異なる2つの実数解をもつような $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) \ge 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つ条件は、$f(x)$ の判別式 $D$ が $D \le 0$ となることである。

$D = (-2m)^2 - 4(1)(m+6) = 4m^2 - 4m - 24 \le 0$

$m^2 - m - 6 \le 0$

$(m-3)(m+2) \le 0$

$-2 \le m \le 3$

したがって、$m$ の範囲は $-2 \le m \le 3$ である。正解は選択肢の③。

(2)

$f(x) = 0$ が1より大きい異なる2つの実数解を持つ条件は以下の3つである。

(i) $f(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つ（判別式 $D > 0$）。

(ii) 軸 $x = m$ が 1 より大きい ($m > 1$)。

(iii) $f(1) > 0$。

(i) $D = 4m^2 - 4m - 24 > 0$

$m^2 - m - 6 > 0$

$(m-3)(m+2) > 0$

$m < -2$ または $m > 3$

(ii) $m > 1$

(iii) $f(1) = 1^2 - 2m(1) + m + 6 = 1 - 2m + m + 6 = 7 - m > 0$

$m < 7$

(i), (ii), (iii) を満たす $m$ の範囲を求める。

$m < -2$ または $m > 3$, $m > 1$, $m < 7$

したがって、$3 < m < 7$ である。

正解は選択肢の④。

3. 最終的な答え

(1) $m$ の値の範囲：③

(2) $m$ の値の範囲：④