$a>1$という条件の下で、不等式$|x-a+1|>1$ (①) と $-6-x<2x\leq2$ (②) を考える。条件(A)は、不等式①と②を同時に満たす整数$x$がちょうど2個存在することである。 (1) 不等式①,②をそれぞれ解く。 (2) 次の(i), (ii), (iii) のそれぞれについて、条件が(A)であるための何であるかを答える。選択肢は、(ア) 必要条件であるが十分条件ではない、(イ) 十分条件であるが必要条件ではない、(ウ) 必要十分条件である、(エ) 必要条件でも十分条件でもない。

1. 問題の内容

$a>1$という条件の下で、不等式$|x-a+1|>1$ (①) と $-6-x<2x\leq2$ (②) を考える。条件(A)は、不等式①と②を同時に満たす整数$x$がちょうど2個存在することである。

(1) 不等式①,②をそれぞれ解く。

(2) 次の(i), (ii), (iii) のそれぞれについて、条件が(A)であるための何であるかを答える。選択肢は、(ア) 必要条件であるが十分条件ではない、(イ) 十分条件であるが必要条件ではない、(ウ) 必要十分条件である、(エ) 必要条件でも十分条件でもない。

2. 解き方の手順

(1) 不等式①を解く。

$|x-a+1|>1$ より、

$x-a+1>1$ または $x-a+1<-1$

$x>a$ または $x<a-2$

不等式②を解く。

$-6-x<2x$ より $3x>-6$, よって $x>-2$

$2x\leq2$ より $x\leq1$

よって、$-2<x\leq1$

①と②を同時に満たす範囲は、

$a<x \leq 1$ または $-2<x<a-2$

(A)の条件を満たす整数$x$がちょうど2個存在するとは、

$a < x \leq 1$ または $-2 < x < a-2$を満たす整数$x$がちょうど2個存在することである。

$-2<x\leq 1$の整数は-1,0,1の3つである。

(2)

(i) $a>1$のとき

不等式①と②を同時に満たす範囲は、$a<x\leq1$ または $-2<x<a-2$ となる。

$a=1.5$ とすると、$1.5<x\leq1$ は存在しないので、$x<-0.5$ となる。

この範囲の整数は-1となり、(A)を満たさない。

一方、$a=0$ の場合、不等式は $x>0$ または $x<-2$となり、 $-2<x \leq 1$ とあわせると、 $0<x \leq 1$ となり、整数は1しかない。

$a>1$ は(A)であるための必要条件ではない。

(A)が成立するとき、$x=-1, 0$ が範囲に入るとすると、 $a-2>0$ より $a>2$

さらに、$a-2 \leq 1$なので、$a \leq 3$.

$2<a \leq 3$

$a>1$ は(A)であるための十分条件ではない。

したがって、$a>1$ は (A)であるための(エ) 必要条件でも十分条件でもない。

(ii) $2<a\leq3$のとき

①と②を同時に満たす整数は、$a<x\leq 1$ または $-2<x<a-2$ となる。

$2 < a \leq 3$ より $0 < a-2 \leq 1$

この範囲を満たす整数は、-1,0となるので、条件(A)を満たす。

したがって、$2<a\leq3$は(A)であるための十分条件である。

逆に(A)を満たすとき、$x=-1,0$が解となるので、$a-2 > 0$ かつ $a-2 \leq 1$ より $2 < a \leq 3$

したがって、$2<a\leq3$は(A)であるための必要条件である。

よって、$2<a\leq3$は(A)であるための(ウ) 必要十分条件である。

(iii) $2<a<3$のとき

①と②を同時に満たす整数は、$a<x\leq 1$ または $-2<x<a-2$ となる。

$2 < a < 3$ より $0 < a-2 < 1$

この範囲を満たす整数は、-1,0となるので、条件(A)を満たす。

したがって、$2<a<3$は(A)であるための十分条件である。

(A)を満たすとき、$x=-1,0$が解となるので、$a-2 > 0$ かつ $a-2 < 1$ より $2 < a < 3$

(A)が必要十分条件となる。

3. 最終的な答え

(1) $x>a$ または $x<a-2$、$-2<x\leq1$

(2)

(i) エ

(ii) ウ

(iii) ウ