$a > 1$ を満たす定数 $a$ が与えられたとき、以下の不等式を考える。 * $|x-a+1| > 1$ ...(1) * $-6 - x < 2x \le 2$ ...(2) 条件 (A) は、不等式 (1) と (2) を同時に満たす整数 $x$ がちょうど2個存在することである。 (1) 不等式 (1), (2) をそれぞれ解く。 (2) 次の空欄に当てはまる適切な語句を (ア)～(エ) から選ぶ。 (i) $a > 1$ は (A) であるための \_\_\_\_\_。 (ii) $2 < a \le 3$ は (A) であるための \_\_\_\_\_。 (iii) $2 < a < 3$ は (A) であるための \_\_\_\_\_。 (ア) 必要条件であるが十分条件ではない (イ) 十分条件であるが必要条件ではない (ウ) 必要十分条件である (エ) 必要条件でも十分条件でもない

1. 問題の内容

$a > 1$ を満たす定数 $a$ が与えられたとき、以下の不等式を考える。

* $|x-a+1| > 1$ ...(1)

* $-6 - x < 2x \le 2$ ...(2)

条件 (A) は、不等式 (1) と (2) を同時に満たす整数 $x$ がちょうど2個存在することである。

(1) 不等式 (1), (2) をそれぞれ解く。

(2) 次の空欄に当てはまる適切な語句を (ア)～(エ) から選ぶ。

(i) $a > 1$ は (A) であるための \_\_\_\_\_。

(ii) $2 < a \le 3$ は (A) であるための \_\_\_\_\_。

(iii) $2 < a < 3$ は (A) であるための \_\_\_\_\_。

(ア) 必要条件であるが十分条件ではない

(イ) 十分条件であるが必要条件ではない

(ウ) 必要十分条件である

(エ) 必要条件でも十分条件でもない

2. 解き方の手順

(1) 不等式 (1) を解く。

$|x - a + 1| > 1$ は、

$x - a + 1 > 1$ または $x - a + 1 < -1$ と同値である。

よって、$x > a$ または $x < a - 2$ である。

不等式 (2) を解く。

$-6 - x < 2x$ より、$3x > -6$ なので、$x > -2$。

$2x \le 2$ より、$x \le 1$。

よって、$-2 < x \le 1$ である。

したがって、(2) を満たす整数 $x$ は、$-1, 0, 1$ である。

(A) を満たすためには、(1)と(2)を満たす整数解が2個である必要がある。

(1)の解は$x>a$または$x<a-2$である。

(2)の解は$-2 < x \le 1$である。

よって、 (1) と (2) を満たす整数解は、$x = -1, 0, 1$ のうちの2個である。

* $x = -1, 0$ のみの場合、$a \le -1$ かつ $0 < a - 2 \le 1$ より、$a \le -1$ かつ $2 < a \le 3$となるが、$a>1$より不適

* $x = 0, 1$ のみの場合、$a \le 0$ かつ $1 < a - 2 \le 2$ より、$a \le 0$ かつ $3 < a \le 4$となるが、$a>1$より不適

* $x = -1, 1$ のみの場合、$a \le -1$ かつ $1 < a - 2 \le 2$ より、$a \le -1$ かつ $3 < a \le 4$となるが、$a>1$より不適

整数解が-1,0のとき、$a \leq -1$かつ$0<a-2 \leq 1$、すなわち$2<a \leq 3$。

整数解が0,1のとき、$a \leq 0$かつ$1<a-2 \leq 2$、すなわち$3<a \leq 4$。

整数解が-1,1のとき、$a \leq -1$かつ$1<a-2 \leq 2$、すなわち$3<a \leq 4$。

しかし、$x$の範囲に条件を追加して整数解の条件を考えると、$2 < a \le 3$または$3 < a \le 4$。

結局、(A) $\iff$ $2 < a \le 3$ である。

(2)

(i) $a > 1$ は (A) であるための必要条件。なぜならば、(A) $\implies$ $a>1$ が成立する。しかし、(A)を満たさない$a$でも、$a>1$は成立する。

(ii) $2 < a \le 3$ は (A) であるための必要十分条件。なぜならば、(A) $\iff$ $2 < a \le 3$ が成立する。

(iii) $2 < a < 3$ は (A) であるための必要条件でも十分条件でもない。$2 < a < 3$ $\implies$ (A)が成立しない。また(A) $\implies$ $2 < a < 3$が成立しない。

3. 最終的な答え

(1)

$x > a$ または $x < a - 2$

$-2 < x \le 1$

(2)

(i) (ア)

(ii) (ウ)

(iii) (エ)