整式 $P(x)$ を $x-3$ で割ると余りが 5 であり、その商をさらに $x-1$ で割ると余りが 3 である。$P(x)$ を $x^2 - 4x + 3$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ を $x-3$ で割ると余りが 5 であり、その商をさらに $x-1$ で割ると余りが 3 である。$P(x)$ を $x^2 - 4x + 3$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $x-3$ で割った商を $Q(x)$ とすると、

$P(x) = (x-3)Q(x) + 5$

さらに、$Q(x)$ を $x-1$ で割った商を $R(x)$ とすると、

$Q(x) = (x-1)R(x) + 3$

これらを組み合わせると、

$P(x) = (x-3)((x-1)R(x) + 3) + 5$

$P(x) = (x-3)(x-1)R(x) + 3(x-3) + 5$

$P(x) = (x^2 - 4x + 3)R(x) + 3x - 9 + 5$

$P(x) = (x^2 - 4x + 3)R(x) + 3x - 4$

したがって、$P(x)$ を $x^2 - 4x + 3$ で割ったときの余りは $3x - 4$ である。

3. 最終的な答え

$3x - 4$