二次関数 $y = -x^2 + 2x + 4$ のグラフを原点に関して対称移動した後のグラフの頂点の座標を求め、グラフを描く。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -x^2 + 2x + 4$ のグラフを原点に関して対称移動した後のグラフの頂点の座標を求め、グラフを描く。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成して、頂点の座標を求める。

$y = -x^2 + 2x + 4$

$y = -(x^2 - 2x) + 4$

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 4$

$y = -(x - 1)^2 + 1 + 4$

$y = -(x - 1)^2 + 5$

したがって、元のグラフの頂点の座標は $(1, 5)$ である。

次に、このグラフを原点に関して対称移動する。原点に関して対称移動すると、点の座標 $(x, y)$ は $(-x, -y)$ に移る。

したがって、元のグラフの頂点 $(1, 5)$ は $(-1, -5)$ に移る。

また、$y = f(x)$ を原点に関して対称移動したグラフは $-y = f(-x)$ となる。

今回の場合は、 $-y = -(-x)^2 + 2(-x) + 4$ となる。

$-y = -x^2 - 2x + 4$

$y = x^2 + 2x - 4$

最後に、対称移動後のグラフの頂点の座標を求めるために、再度平方完成を行う。

$y = x^2 + 2x - 4$

$y = (x^2 + 2x) - 4$

$y = (x^2 + 2x + 1 - 1) - 4$

$y = (x + 1)^2 - 1 - 4$

$y = (x + 1)^2 - 5$

したがって、対称移動後のグラフの頂点の座標は $(-1, -5)$ である。

3. 最終的な答え

対称移動後のグラフの頂点の座標: $(-1, -5)$

グラフの式: $y = x^2 + 2x - 4$ または $y = (x + 1)^2 - 5$