2次不等式 $x^2 + 2x - 2 < 0$ ... (1) $x^2 - 2ax + a^2 - 1 > 0$ ... (2) について、以下の問いに答える。 (1) 不等式(1)を解け。 (2) 不等式(2)を解け。 (3) (1)を満たす$x$の集合を$A$、(2)を満たす$x$の集合を$B$とする。$A \subset B$であるとき、$a$の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次不等式

$x^2 + 2x - 2 < 0$ ... (1)

$x^2 - 2ax + a^2 - 1 > 0$ ... (2)

について、以下の問いに答える。

(1) 不等式(1)を解け。

(2) 不等式(2)を解け。

(3) (1)を満たす$x$の集合を$A$、(2)を満たす$x$の集合を$B$とする。$A \subset B$であるとき、$a$の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 不等式(1) $x^2 + 2x - 2 < 0$ を解く。

$x^2 + 2x - 2 = 0$ の解は、解の公式より

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$

したがって、$x^2 + 2x - 2 < 0$ の解は

$-1 - \sqrt{3} < x < -1 + \sqrt{3}$

(2) 不等式(2) $x^2 - 2ax + a^2 - 1 > 0$ を解く。

$x^2 - 2ax + a^2 - 1 = (x - a)^2 - 1 = (x - a - 1)(x - a + 1) > 0$

したがって、$x < a - 1$ または $x > a + 1$

(3) $A \subset B$ となる条件を求める。

$A = \{x \mid -1 - \sqrt{3} < x < -1 + \sqrt{3}\}$

$B = \{x \mid x < a - 1 \text{ または } x > a + 1\}$

$A \subset B$となるのは、$a - 1 \geq -1 + \sqrt{3}$ または $a + 1 \leq -1 - \sqrt{3}$ のとき。

$a - 1 \geq -1 + \sqrt{3}$ より、$a \geq \sqrt{3}$

$a + 1 \leq -1 - \sqrt{3}$ より、$a \leq -2 - \sqrt{3}$

したがって、$a \leq -2 - \sqrt{3}$ または $a \geq \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $-1 - \sqrt{3} < x < -1 + \sqrt{3}$

(2) $x < a - 1$ または $x > a + 1$

(3) $a \leq -2 - \sqrt{3}$ または $a \geq \sqrt{3}$