(1) 等差数列 $-20, -18, -16, \dots, 28$ の和を求める。 (2) 初項 $2$, 公差 $-3$ の等差数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める。 (3) 第10項が $35$, 第24項が $91$ の等差数列の第15項から第40項までの和を求める。

1. 問題の内容

(1) 等差数列 $-20, -18, -16, \dots, 28$ の和を求める。

(2) 初項 $2$, 公差 $-3$ の等差数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める。

(3) 第10項が $35$, 第24項が $91$ の等差数列の第15項から第40項までの和を求める。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列 $-20, -18, -16, \dots, 28$ について、初項 $a = -20$, 公差 $d = -18 - (-20) = 2$ である。

末項 $l = 28$ より、第何項かを求める。

$a_n = a + (n-1)d$ より、

$28 = -20 + (n-1)2$

$48 = 2(n-1)$

$24 = n-1$

$n = 25$

よって、この等差数列は第25項までであり、その和 $S$ は、

$S = \frac{n(a+l)}{2} = \frac{25(-20+28)}{2} = \frac{25(8)}{2} = 25(4) = 100$

(2)

初項 $a = 2$, 公差 $d = -3$ の等差数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] = \frac{n}{2} [2(2) + (n-1)(-3)] = \frac{n}{2} [4 - 3n + 3] = \frac{n}{2} [7 - 3n]$

$S_n = \frac{n(7-3n)}{2}$

(3)

第10項が $35$, 第24項が $91$ の等差数列について、初項を $a$, 公差を $d$ とする。

$a_{10} = a + 9d = 35$

$a_{24} = a + 23d = 91$

この連立方程式を解く。

$a + 23d = 91$

$a + 9d = 35$

辺々引くと、

$14d = 56$

$d = 4$

$a + 9(4) = 35$

$a + 36 = 35$

$a = -1$

第15項から第40項までの和は、第40項までの和から第14項までの和を引いたものとして計算できる。

$S_{40} = \frac{40}{2} [2(-1) + (40-1)(4)] = 20[-2 + 39(4)] = 20[-2 + 156] = 20(154) = 3080$

$S_{14} = \frac{14}{2} [2(-1) + (14-1)(4)] = 7[-2 + 13(4)] = 7[-2 + 52] = 7(50) = 350$

第15項から第40項までの和は、 $S_{40} - S_{14} = 3080 - 350 = 2730$

3. 最終的な答え

(1) $100$

(2) $\frac{n(7-3n)}{2}$

(3) $2730$