$\cos^2 \theta = \sin \theta$ のとき、$\frac{1}{1+\cos \theta} + \frac{1}{1 - \cos \theta}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\cos^2 \theta = \sin \theta$ のとき、$\frac{1}{1+\cos \theta} + \frac{1}{1 - \cos \theta}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を計算します。

$\frac{1}{1+\cos \theta} + \frac{1}{1-\cos \theta} = \frac{(1-\cos \theta) + (1+\cos \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}$

$= \frac{2}{1-\cos^2 \theta}$

三角関数の恒等式 $1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ を用いると、

$\frac{2}{1-\cos^2 \theta} = \frac{2}{\sin^2 \theta}$

次に、条件 $\cos^2 \theta = \sin \theta$ を与えられた式に代入します。

$\frac{2}{\sin^2 \theta} = \frac{2}{(\cos^2 \theta)^2} = \frac{2}{\cos^4 \theta}$

$\cos^2 \theta = \sin \theta$ という条件より、

$\cos^4 \theta = \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

$\cos^4 \theta + \cos^2 \theta - 1 = 0$

ここで、$x = \cos^2 \theta$ とおくと、$x^2 + x - 1 = 0$ となります。

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

ここで、$\cos^2 \theta \ge 0$ なので、$\cos^2 \theta = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ となります。

すると $\sin \theta = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ となります。

$\sin^2 \theta = (\frac{-1+\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1 - 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6-2\sqrt{5}}{4} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$

したがって、

$\frac{2}{\sin^2 \theta} = \frac{2}{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} = \frac{4}{3-\sqrt{5}} = \frac{4(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{4(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{4(3+\sqrt{5})}{4} = 3+\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$3+\sqrt{5}$