問題は、複素数 $z$ が与えられた条件で動くとき、関数 $w=z^2$ によって写像された $w$ の軌跡を求めるものです。ここで、$z$ は図1に示す直線上にあり、$z = x+iy$, $w = u+iv$ です。

1. 問題の内容

問題は、複素数 $z$ が与えられた条件で動くとき、関数 $w=z^2$ によって写像された $w$ の軌跡を求めるものです。ここで、$z$ は図1に示す直線上にあり、$z = x+iy$, $w = u+iv$ です。

2. 解き方の手順

まず、図1の直線の方程式を求めます。この直線は点 $(0,0)$ と $(1,1)$ を通るので、$y = x$ と表されます。つまり、$z = x + ix = x(1+i)$ となります。

次に、$w = z^2$ に $z = x(1+i)$ を代入します。

$w = (x(1+i))^2 = x^2(1+i)^2 = x^2(1 + 2i - 1) = 2ix^2$.

$w = u + iv$ とすると、$u = 0$ かつ $v = 2x^2$ となります。

$x$ は任意の実数なので、$x^2 \ge 0$ です。したがって、$v \ge 0$ となります。

$u=0$なので、$w$ は虚軸上にあり、$v \ge 0$ より $v$ は非負です。

3. 最終的な答え

$w$ の軌跡は、原点を含む、虚軸の正の部分（または非負の部分）である。