4次式 $x^4 + x^2 - 12$ を、有理数、実数、複素数の範囲でそれぞれ因数分解する問題です。

1. 問題の内容

4次式 $x^4 + x^2 - 12$ を、有理数、実数、複素数の範囲でそれぞれ因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 = t$ とおくと、与式は $t^2 + t - 12$ となります。

(ア) 有理数の範囲での因数分解

$t^2 + t - 12$ を因数分解すると、$(t+4)(t-3)$ となります。

$t$ を $x^2$ に戻すと、$(x^2+4)(x^2-3)$ となります。

$x^2 - 3 = (x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$ ですが、$\sqrt{3}$ は有理数ではないので、有理数の範囲では $x^2 - 3$ はこれ以上因数分解できません。

したがって、有理数の範囲での因数分解は $(x^2+4)(x^2-3)$ です。

(イ) 実数の範囲での因数分解

$(x^2+4)(x^2-3)$ をさらに因数分解します。

$x^2 - 3 = (x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$ となります。

$x^2 + 4 = 0$ を解くと、$x = \pm 2i$ となり、これは実数ではありません。したがって、$x^2+4$ は実数の範囲ではこれ以上因数分解できません。

したがって、実数の範囲での因数分解は $(x^2+4)(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$ です。

(ウ) 複素数の範囲での因数分解

$x^2 + 4 = 0$ を解くと、$x = \pm 2i$ となるので、$x^2 + 4 = (x+2i)(x-2i)$ と因数分解できます。

したがって、複素数の範囲での因数分解は $(x+2i)(x-2i)(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$ です。

3. 最終的な答え

(ア) 有理数: $(x^2+4)(x^2-3)$

(イ) 実数: $(x^2+4)(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$

(ウ) 複素数: $(x+2i)(x-2i)(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$