## 問題の回答

## 問題の回答

### 問題の内容

1. $ (a^2 + 4a)^2 - 8(a^2 + 4a) - 48 $ を因数分解する。

2. $ xy + x + y + 1 $ を因数分解する。

3. $ xy + 2x + 3y + 6 $ を因数分解する。

4. $ a^2b + a - b - 1 $ を因数分解する。

### 解き方の手順

1. **$ (a^2 + 4a)^2 - 8(a^2 + 4a) - 48 $ の因数分解**

$a^2 + 4a = A$ と置換すると、式は $A^2 - 8A - 48$ となる。

$A^2 - 8A - 48 = (A - 12)(A + 4)$

$A$ を元に戻すと、

$(a^2 + 4a - 12)(a^2 + 4a + 4)$

それぞれの括弧内を因数分解する。

$a^2 + 4a - 12 = (a + 6)(a - 2)$

$a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2$

したがって、

$(a + 6)(a - 2)(a + 2)^2$

2. **$ xy + x + y + 1 $ の因数分解**

$x$ で括ると、

$x(y + 1) + (y + 1)$

$(x + 1)$ で括ると、

$(x + 1)(y + 1)$

3. **$ xy + 2x + 3y + 6 $ の因数分解**

$x$ で括ると、

$x(y + 2) + 3y + 6$

$3$ で括ると、

$x(y + 2) + 3(y + 2)$

$(y + 2)$ で括ると、

$(x + 3)(y + 2)$

4. **$ a^2b + a - b - 1 $ の因数分解**

$b$ で括ると、

$b(a^2 - 1) + (a - 1)$

$(a^2 - 1) = (a - 1)(a + 1)$ なので、

$b(a - 1)(a + 1) + (a - 1)$

$(a - 1)$ で括ると、

$(a - 1)[b(a + 1) + 1]$

$(a - 1)(ab + b + 1)$

### 最終的な答え

1. $ (a + 6)(a - 2)(a + 2)^2 $

2. $ (x + 1)(y + 1) $

3. $ (x + 3)(y + 2) $

4. $ (a - 1)(ab + b + 1) $