与えられた2つの2次式を複素数の範囲で因数分解する。 (1) $2x^2 - 17x - 69$ (2) $x^2 - 2x - 1$

1. 問題の内容

与えられた2つの2次式を複素数の範囲で因数分解する。

(1) $2x^2 - 17x - 69$

(2) $x^2 - 2x - 1$

2. 解き方の手順

2次式を因数分解するには、まず解の公式を用いて2次方程式の解を求める。求めた解を $\alpha$ と $\beta$ とすると、与えられた2次式は $a(x-\alpha)(x-\beta)$ と因数分解できる。ここで、$a$ は2次の係数である。

(1) $2x^2 - 17x - 69 = 0$ を解く。解の公式を用いると、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{17 \pm \sqrt{(-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-69)}}{2 \cdot 2}$

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 + 552}}{4}$

$x = \frac{17 \pm \sqrt{841}}{4}$

$x = \frac{17 \pm 29}{4}$

$x_1 = \frac{17 + 29}{4} = \frac{46}{4} = \frac{23}{2}$

$x_2 = \frac{17 - 29}{4} = \frac{-12}{4} = -3$

よって、$2x^2 - 17x - 69 = 2(x - \frac{23}{2})(x + 3) = (2x - 23)(x + 3)$

(2) $x^2 - 2x - 1 = 0$ を解く。解の公式を用いると、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2}$

$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2}$

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

よって、$x^2 - 2x - 1 = (x - (1 + \sqrt{2}))(x - (1 - \sqrt{2})) = (x - 1 - \sqrt{2})(x - 1 + \sqrt{2})$

3. 最終的な答え

(1) $(2x - 23)(x + 3)$

(2) $(x - 1 - \sqrt{2})(x - 1 + \sqrt{2})$