複素数平面上で、$|z-(1-i)| = \sqrt{2}$ で表される円上の3点 $O(0)$, $A(\alpha)$, $B(\beta)$ が正三角形の頂点をなすとき、$\alpha$, $\beta$ を表す複素数を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数平面上で、$|z-(1-i)| = \sqrt{2}$ で表される円上の3点 $O(0)$, $A(\alpha)$, $B(\beta)$ が正三角形の頂点をなすとき、$\alpha$, $\beta$ を表す複素数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$z-(1-i) = \sqrt{2}e^{i\theta}$ と表せるので、$z = 1-i + \sqrt{2}e^{i\theta}$ となります。

$O(0)$が正三角形の頂点であることから、$A(\alpha)$ と $B(\beta)$ は原点中心に $2\pi/3$ だけ回転させた位置関係にあることが考えられます。

したがって、$z=0$は円周上の点ではないため、円の中心$1-i$を基準に考えます。

$0, \alpha, \beta$ が正三角形の頂点をなすことから、$\alpha = (1-i) + \sqrt{2}e^{i\theta}$ と $\beta = (1-i) + \sqrt{2}e^{i(\theta + 2\pi/3)}$ とおけるので、

$0, \alpha, \beta$ が正三角形をなすには、原点を中心とする正三角形ではなく、$0$が円上に存在するため、$1-i$を中心に円周上に点$A, B$ が正三角形をなすようにします。

$\alpha$と$\beta$は、点$1-i$を中心とする半径$\sqrt{2}$の円周上の点であり、原点0と合わせて正三角形をなす必要があります。

$\alpha$と$\beta$は、$1-i$を中心として$\pm \frac{2\pi}{3}$ だけ回転した位置にあると考えられます。

$\alpha = 1-i + \sqrt{2}(\cos(\pm 2\pi/3)+ i\sin(\pm 2\pi/3)) = 1-i + \sqrt{2}(-\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2})$

$\alpha = (1-\frac{\sqrt{2}}{2}) + i(-1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{2-\sqrt{2}}{2} + \frac{-2\pm \sqrt{6}}{2}i$

同様に、$\beta = 1-i + \sqrt{2}(\cos(\mp 2\pi/3)+ i\sin(\mp 2\pi/3))$なので、複号を反転させます。

ここで、$O(0)$、$A(\alpha)$、$B(\beta)$ が正三角形をなすことから、$OA = OB = AB$ となる必要があります。

円の中心$(1-i)$と原点$O$の距離は$\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$であり、これは円の半径に等しいです。

したがって、原点は円周上にあります。

ここで、正三角形の一つの頂点が原点であることから、$\alpha = \frac{1-\sqrt{3}}{2} + i\frac{1+\sqrt{3}}{2}$, $\beta = \frac{1+\sqrt{3}}{2} + i\frac{1-\sqrt{3}}{2}$ であることがわかります。

$\alpha = \frac{1\pm\sqrt{3}}{2}$の場合、$|z - (1-i)| = \sqrt{2}$ を満たすかを確認する。

ここで $\alpha, \beta$ は $\frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} + \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}i$ のようにすると、少し違う。

$z=1-i + \sqrt{2} e^{\frac{\pi i}{4} \pm \frac{2\pi i}{3}}$

上記の計算を正しく計算し直すと、答えは $\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}$ $\frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2} i$になるので、$\frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} + i\frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$ が答えになる。

$\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{2}->\sqrt{3}$ に訂正

3. 最終的な答え

$\alpha = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} + \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}i$

$\beta = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} + \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}i$

$\frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} , \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}i$