$a, b, c$は整数とする。4次方程式 $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 3 = 0$ の実数解が1と3となるとき、$a$の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

$a, b, c$は整数とする。4次方程式 $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 3 = 0$ の実数解が1と3となるとき、$a$の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

実数解が1と3を持つので、$x=1$と$x=3$を方程式に代入する。

$x=1$のとき：

$1 + a + b + c + 3 = 0$

$a + b + c = -4$ ...(1)

$x=3$のとき：

$81 + 27a + 9b + 3c + 3 = 0$

$27a + 9b + 3c = -84$

$9a + 3b + c = -28$ ...(2)

(2) - (1)より

$8a + 2b = -24$

$4a + b = -12$

$b = -4a - 12$ ...(3)

(1)に(3)を代入して

$a + (-4a - 12) + c = -4$

$-3a - 12 + c = -4$

$c = 3a + 8$ ...(4)

ここで、元の4次方程式を$(x-1)(x-3)(x^2 + px + q) = 0$と因数分解できるはずである。

$(x-1)(x-3) = x^2 - 4x + 3$

$(x^2 - 4x + 3)(x^2 + px + q) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 3$ を展開すると

$x^4 + (p-4)x^3 + (q-4p+3)x^2 + (3p-4q)x + 3q = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 3$

係数を比較して

$a = p - 4$

$b = q - 4p + 3$

$c = 3p - 4q$

$3q = 3$ より $q = 1$

$a = p - 4$ ...(5)

$b = 1 - 4p + 3 = 4 - 4p$ ...(6)

$c = 3p - 4$ ...(7)

(5)より、$p = a + 4$

(6)に代入して、$b = 4 - 4(a+4) = 4 - 4a - 16 = -4a - 12$

(7)に代入して、$c = 3(a+4) - 4 = 3a + 12 - 4 = 3a + 8$

これは先に求めた(3)と(4)と同じである。

$x^2 + px + q = x^2 + (a+4)x + 1$ の判別式を $D$ とすると

$D = (a+4)^2 - 4 = a^2 + 8a + 16 - 4 = a^2 + 8a + 12$

4次方程式が実数解1と3を持つためには、$D \ge 0$ である必要がある。

$a^2 + 8a + 12 \ge 0$

$(a+2)(a+6) \ge 0$

よって、$a \le -6$ または $a \ge -2$

$a, b, c$ が整数であることと、$a+b+c = -4$, $9a+3b+c = -28$ を満たすことを考慮すると、

$a$ が最大となるのは $a = -2$ のとき

$b = -4(-2) - 12 = 8 - 12 = -4$

$c = 3(-2) + 8 = -6 + 8 = 2$

方程式は $x^4 - 2x^3 - 4x^2 + 2x + 3 = (x-1)(x-3)(x^2 + 2x + 1) = (x-1)(x-3)(x+1)^2 = 0$

実数解は $x=1, 3, -1$ (重解)となり、条件を満たす。

$a$ が最小となるのは $a = -6$ のとき

$b = -4(-6) - 12 = 24 - 12 = 12$

$c = 3(-6) + 8 = -18 + 8 = -10$

方程式は $x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 10x + 3 = (x-1)(x-3)(x^2 - 2x + 1) = (x-1)(x-3)(x-1)^2 = (x-1)^3(x-3)=0$

実数解は $x=1$ (重解), $x=3$ となり条件を満たす。

3. 最終的な答え

$a$の最大値は $-2$ で、最小値は $-6$ である。