(1) 第3項が12、第7項が28である等差数列について、第1項から第10項までの和を求めよ。 (2) 第3項が4で第6項が$-8\sqrt{2}$である等比数列の一般項を求めよ。ただし、公比は実数とする。また、初項から第10項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 第3項が12、第7項が28である等差数列について、第1項から第10項までの和を求めよ。

(2) 第3項が4で第6項が$-8\sqrt{2}$である等比数列の一般項を求めよ。ただし、公比は実数とする。また、初項から第10項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の問題

等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とする。ここで、$a$は初項、$d$は公差である。

問題文より、$a_3 = a + 2d = 12$、 $a_7 = a + 6d = 28$ である。

この2式を連立して解く。

$a + 6d = 28$

$a + 2d = 12$

上の式から下の式を引くと、$4d = 16$ となり、$d = 4$ が得られる。

$a + 2(4) = 12$ より、$a + 8 = 12$ となり、$a = 4$ が得られる。

等差数列の和の公式 $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ を用いて、第1項から第10項までの和を求める。

$S_{10} = \frac{10}{2}(2(4) + (10-1)(4)) = 5(8 + 36) = 5(44) = 220$

(2) 等比数列の問題

等比数列の一般項を $a_n = ar^{n-1}$ とする。ここで、$a$は初項、$r$は公比である。

問題文より、$a_3 = ar^2 = 4$、 $a_6 = ar^5 = -8\sqrt{2}$ である。

$\frac{a_6}{a_3} = \frac{ar^5}{ar^2} = \frac{-8\sqrt{2}}{4} = -2\sqrt{2}$

$r^3 = -2\sqrt{2} = -2^{\frac{3}{2}} = (-\sqrt{2})^3$

$r = -\sqrt{2}$

$ar^2 = 4$ より、$a(-\sqrt{2})^2 = 4$

$a(2) = 4$

$a = 2$

よって、一般項は $a_n = 2(-\sqrt{2})^{n-1}$ となる。

等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ を用いて、第1項から第10項までの和を求める。

$S_{10} = \frac{2(1-(-\sqrt{2})^{10})}{1-(-\sqrt{2})} = \frac{2(1-32)}{1+\sqrt{2}} = \frac{2(-31)}{1+\sqrt{2}} = \frac{-62}{1+\sqrt{2}}$

$S_{10} = \frac{-62(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})} = \frac{-62(1-\sqrt{2})}{1-2} = \frac{-62(1-\sqrt{2})}{-1} = 62(1-\sqrt{2}) = 62 - 62\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) 220

(2) 一般項: $a_n = 2(-\sqrt{2})^{n-1}$、和: $62 - 62\sqrt{2}$